Środek ciężkości

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy środka ciężkości w fizyce i astronomii. Zobacz też: barycentrum w geometrii (topologii).

Dwa ciała o jednakowych masach krążące wokół wspólnego barycentrum.

Dwa ciała o zbliżonych masach krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Pluton i Charon).

Dwa ciała o dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum.

Dwa ciała o bardzo dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Ziemia i Księżyc).

Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała.

Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego często jest mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

Jeżeli podzielić dane ciało na dowolnie małe elementy $m k$ , każdy element ciała odległy od środka układu współrzędnych o wektor $\vec r_k$ , element ten znajduje się w miejscu gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi $g(\vec{r_k})$ to środek ciężkości ciała określa wektor:

$\vec r_0={{\sum_k m_k g(r_k)\vec r_k}\over{\sum_k g(r_k) m_k}}$

W polu grawitacyjnym jednorodnym $g (r k)$ ma dla każdego $r k$ tą samą wartość i kierunek, to po skróceniu wzoru $g$ i wówczas środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy:

$\vec r_0={{\sum_k m_k \vec r_k}\over{\sum_k m_k}}$

Powyższa zależność dla ośrodków ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych wiąże środek masy z rozkładem gęstości $ρ$ w przestrzeni za pomocą zależności:

$\vec r_0={1 \over M} \int\limits_V \rho \vec r d V$

$M=\int\limits_V \rho dV\,$

przy czym:

$\vec r_0$ to wektor środka masy;

M to masa ciała;
V to objętość ciała;
$ρ = ρ(x, y, z)$ to funkcja gęstości ciała

Jeżeli ciało zawiesić nieruchomo na nici, to środek ciężkości znajduje się na przedłużeniu nici.

[edytuj] Astronomia

Dla układu Ziemia - Księżyc barycentrum znajduje się około 1700 km pod powierzchnią Ziemi. Natomiast dla Słońca znajduje się ono około 300 000 km ponad powierzchnią gwiazdy, lecz przez wpływ głównie Jowisza i Saturna cały czas zmienia się jego położenie.

Położenie barycentrum dwóch ciał można obliczyć ze wzoru:

$r_1 = r_{\rm tot} {m_2 \over m_1 + m_2}$