Wariancja

Z Wikipedii

Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Wariancja zmiennej losowej X zdefiniowana jest wzorem:

$Var[X]=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]$ ,

gdzie $\mathbb{E}[]$ jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej. Innym, często prostszym sposobem wyznaczania wariancji jest wzór: $D 2 (X) = E (X 2) - [E (X)] 2$ .

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

[edytuj] Estymatory

Wariancję dla szeregu szczegółowego wyznacza się ze wzoru:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( x_i - m )^2$

a dla szeregu rozdzielczego:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i \cdot ( x_i - m )^2$

Wariancja próby losowej o wartościach $x i$ , gdzie $i = 1,2,3,...$ , jest następująca:

$\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2.$

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2$

jest zgodnym lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2.$

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną $μ$ w populacji, wówczas estymator

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \mu \right) ^ 2$

jest już nieobciążony i zgodny.

[edytuj] Własności wariancji

D 2 (c) = 0

$D^2(a \cdot X) = a^2 \cdot D^2(X)$

D 2 (X + b) = D 2 (X)

$D^2(X \pm Y) = D^2(X) + D^2(Y)$ , gdy X I Y są niezależne

$D^2(X \pm Y) = D^2(X) + D^2(Y) \pm 2\operatorname{Cov}(X,Y)$ w ogólnym przypadku

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony! (zobacz odchylenie standardowe).

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.

Kategorie: Miary zróżnicowania rozkładu • Momenty centralne

We provide Linux to the World

Wariancja

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Estymatory

[edytuj] Własności wariancji

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach