Antyłańcuch
Z Wikipedii
Antyłańcuch to termin w kilku dziedzinach matematyki na określenie obiektów o własnościach związanych z pewnymi praporządkami.
Spis treści |
[edytuj] Antyłańcuchy w teorii porządków częściowych
[edytuj] Definicja
Przy określonym porządku 
zbiór 
nazywamy antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Intuicyjnie, zbiór jest antyłańcuchem, gdy nie da się porównać żadnych dwóch różnych jego elementów.
[edytuj] Przykłady i własności
- Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest antyłańcuchem (i jednocześnie jest też łańcuchem).
- Porządek częściowy jest porządkiem liniowym wtedy i tylko wtedy gdy każdy antyłańcuch w tym porządku jest jednoelementowy.
- Twierdzenie Dilwortha mówi że częściowy porządek nie zawiera n + 1 elementowych antyłańcuchów (
) wtedy i tylko wtedy gdy P jest sumą n łańcuchów. - Twierdzenie Spernera mówi że jeśli P jest rodziną wszystkich podzbiorów pewnego n elementowego zbioru X, a porządek
jest zawieraniem, to każdy antyłańcuch zawarty w P ma co najwyżej 
elementów.
[edytuj] Antyłańcuchy w teorii forsingu
[edytuj] Definicja
Niech 
będzie pojęciem forsingu. Zbiór 
jest antyłańcuchem w 
wtedy i tylko wtedy gdy każde dwa różne warunki 
są sprzeczne, tzn
Należy zwrócić uwagę że pojęcie antyłańcucha w sensie forsingu jest różne od tegoż w sensie teorii posetów: nieporównywalność elementów jest tutaj zastąpiona sprzecznością warunków.
[edytuj] κ-cc
Niech κ będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu spełnia κ-cc jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż κ. Jeśli spełnia 
-cc to mówimy wtedy też że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc.
Nazwa κ-cc jest skrótem angielskiego wyrażenia κ-chain condition (warunek κ-łańcucha). Użycie słowa łańcuch (chain) było pierwotnie spowodowane pewnym zamieszaniem w stosowanym nazewnictwie w początkowych latach rozwoju teorii.
Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że najmniejsza liczba kardynalna κ dla której pojęcie forsingu spełnia warunek κ-cc musi być regularna.
[edytuj] Przykłady i własności
- Pojęcie forsingu Cohena (zbiór skończonych ciągów liczb naturalnych uporządkowany przez odwrotną relację wydłużania ciągów) spełnia ccc.
- Pojęcie forsingu Solovaya (zbiór domkniętych podzbiorów
miary dodatniej uporządkowany przez inkluzję) spełnia ccc. - Pojęcie forsingu Sacksa (zbiór doskonałych podzbiorów uporządkowany przez inkluzję) nie spełnia ccc. Poniżej każdego warunku w tym forsingu można skonstruować antyłańcuch mocy continuum.
- Rozszerzenia generyczne modeli ZFC przy użyciu pojęć forsingu spełniających ccc zachowują liczby kardynalne. Rozszerzenia przy użyciu pojęć forsingu spełniających κ-cc zachowują liczby kardynalne większe lub równe κ.
[edytuj] Antyłańcuchy w algebrach Boole'a
[edytuj] Definicja
Ponieważ algebry Boole'a są też pojęciami forsingu, forsingowa definicja antyłańcuchów jest naturalnie przenoszona na algebry Boole'a. Niech 
będzie algebrą Boole'a. Zbiór 
jest antyłańcuchem w 
wtedy i tylko wtedy gdy każde dwa różne elementy A są rozłączne, tzn
[edytuj] Celularność
Celularność jest funkcją kardynalną określona na algebrach Boole'a. Celularność 
algebry Boole'a jest to supremum mocy antyłańcuchów w .
Mówimy że algebra Boole'a spełnia ccc jeśli 
.
Twierdzenie Erdősa-Tarskiego mówi że jeśli celularność algebry Boole'a jest liczbą singularną, to istnieje antyłańcuch mocy .
