Suma zbiorów
Z Wikipedii
Suma (unia) zbiorów – działanie algebry zbiorów.
Spis treści |
[edytuj] Definicje
Sumą albo unią zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów A i B jest oznaczana przez . Tak więc:
Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów to
Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów definiujemy
Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np , a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.
[edytuj] Przykłady
- Niech będzie zbiorem liczb wymiernych a niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn .
- ,
- Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku . Wówczas
- .
[edytuj] Aksjomat sumy
Powyższa definicja sumy zbiorów jest w pewnym stopniu niekompletna. Zapis należy rozumieć jako opisujący zbiór przez podanie własności jego elementów, tak jak podaliśmy w opisie słownym. Nie zastanawiliśmy się natomiast czy taki zbiór istnieje. Podobnie dla dowolnej rodziny zbiorów powinniśmy zapytać czy istnieje zbiór U do którego należą dokładnie te obiekty x, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny . Nasze definicje sumy zbiorów (w obu przypadkach) będą poprawne tylko wtedy gdy odpowiedź na pytanie o istnienie odpowiedniego zbioru jest pozytywna. Aby to zagwarantować, wśród standardowych aksjomatów teorii mnogości wymienia się również aksjomat sumy:
- .
[edytuj] Własności
[edytuj] Operacje skończone
Dla dowolnych zbiorów A,B,C zachodzą następujące równości:
- ;
- ;
- (łączność);
- (przemienność);
- oraz (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego);
- (prawo De Morgana).
Ponadto,
- wtedy i tylko wtedy, gdy .
Niech U będzie niepustym zbiorem a niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru U. Wówczas
jest zupełną algebrą Boole'a.
[edytuj] Operacje nieskończone
Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech , oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech D będzie zbiorem. Wówczas
Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech będzie rodziną zbiorów. Wówczas
[edytuj] Suma a obrazy i przeciwobrazy
Dla dowolnej funkcji , dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru X, oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru Y, zachodzą następujące dwa stwierdzenia:
- (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
- (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).