Całka Daniella-Stone'a

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Źródło
4 Zobacz też
5 Przypisy

Całka Daniella-Stone'a - model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone'a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue'a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone'a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

[edytuj] Definicja

Niech $E$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał $\mu\in E^\star$ nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej $E\ni f\geqslant 0$ zachodzi $\mu(f)\geqslant 0$ .

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji $E$ nazywamy całką Daniella-Stone'a. Funkcje z rodziny $E$ nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast $μ(f)$ całkę Daniella-Stone'a oznaczamy także

$\int fd\mu,\; \int\limits_Xf(x)d\mu(x),\; \operatorname{(D)}\int fd\mu$

[edytuj] Przykłady

$X=[a,b]\subset\mathbb{R}, E=C([a,b]), \mu(f):=\int\limits_{[a,b]}f(x)dx$ . W tym przypadku całka Daniella-Stone'a jest całką Riemanna.
Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech $E = C 0 (X)$ oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na $X$ . Jeśli $μ$ jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego $μ$ jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone'a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej $X$ .
W poprzednim przykładzie przyjmijmy $X=\mathbb{N}$ . Niech $C_0(\mathbb{N})$ będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla $f\in C_0(\mathbb{N})$ przyjmijmy $\mu(f):=\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ .
Niech $X\neq \varnothing$ . Rozważmy zbiór $E$ wszystkich funkcji $X\to \mathbb{R}$ oraz ustalmy $x_0\in X$ . Dla $f\in E$ określamy $μ(f): = f (x 0)$ ^[1]

[edytuj] Źródło

Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Funkcjonał ten oznaczamy najczęściej przez $\delta_{x_0}(f)$

Kategorie: Analiza funkcjonalna • Całki

We provide Linux to the World

Całka Daniella-Stone'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Źródło

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach