Centralizator i normalizator
Z Wikipedii
Centralizator (centrum), normalizator – w teorii grup specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.
Spis treści |
[edytuj] Centralizator
Niech . Centralizatorem elementu x nazywamy podgrupę
- .
Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.
Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru G, nie koniecznie będącego podgrupą.
Centralizatorem zbioru nazywamy grupę
- .
Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru H.
[edytuj] Centrum
Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:
- Z(G) = CG(G).
Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy G, mamy zatem .
Stąd o centralizatorze elementu x można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie zawierającej x w swoim centrum, Z(H).
Indeks grupy względem centrum (G:Z(G)) można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy - im mniejsza to liczba, tym więcej elemenetów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.
W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, Z(R).
[edytuj] Twierdzenie Schura
Jeśli , to .
Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w [1].
[edytuj] Normalizator
Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru .
Normalizatorem H w G jest podgrupa
- .
Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli , to NG(H) jest największą podgrupą G mającą H jako swoją podgrupę normalną.
[edytuj] Działanie grupy na zbiorze
Niech będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy grupy G na zbiorze warstw G / H zadane wzorem . Wówczas jest podgrupą normalną G. Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w H.
Jeśli , to
[edytuj] Oznaczenia
W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie G mamy więc oraz dla dowolnego zbioru .
[edytuj] Własności
Niech G,G1,G2 będą grupami, :
- Niech . , co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a i b komutują ze sobą.
- Jeśli G = {a}, to N(S) = C(S) = C(a).
- Jeśli G jest abelowa, to C(H) = G oraz N(H) = G,
- grupa G jest abelowa .
- C(H) jest zawsze podgrupą normalną N(H),
- Z(G) jest podgrupą normalną G.
- Jeśli grupa ilorazowa G / Z(G) jest cykliczna, to G jest abelowa.
- Jeśli G jest grupą nieabelową, to jej indeks względem Z(G) jest większy od 3.
- Jeśli , to Z(GX) = (Z(G))X.
[edytuj] Uwagi
Jeżeli , wtedy grupa ilorazowa N(H) / C(H) jest izomorficzna z podgrupą , grupą automorfizmów H.
Jeżeli NG(G) = G, to G / Z(G) jest izomorficzna z , podgrupą zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy G.
Jeżeli , to homomorfizm taki, że , pozwala na opisanie N(H) oraz C(H) w terminach działania grupy na grupie G:
- jest stabilizatorem H w ,
- jest podgrupą punktów stałych H.
[edytuj] Bibliografia
- A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4
Przypisy
- ↑ Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.