Dywergencja

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Dywergencja – operator różniczkowy, który danemu polu wektorowemu przypisuje pole skalarne.

Jeżeli polem wektorowym jest pole prędkości płynięcia nieściśliwego płynu, to dywergencja większa od zera oznacza, że w tym punkcie do układu ciecz dopływa (tu jest jej źródło), jeśli zaś mniejsza od zera, to tu następuje jej odpływ (ma tu swoje ujście). Gdy dywergencja jest równa zeru, to w danym punkcie nie ma ani dopływu, ani odpływu albo oba są sobie równe.

W przypadku pola elektrycznego takimi "źródłami" pola są ładunki, dlatego dywergencja pola elektrycznego jest proporcjonalna do gęstości ładunku w danym punkcie przestrzeni (różniczkowe prawo Gaussa).

Pole wektorowe o zerowej dywergencji nazywamy bezźródłowym. Przykładem takiego pola jest pole magnetyczne (brak monopoli magnetycznych – w przyrodzie obserwuje się wyłącznie dipole).

[edytuj] Definicja

Funkcję:

$\bold A: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$

Będziemy nazywać polem wektorowym w przestrzeni trójwymiarowej. Dalej będziemy zakładać że powyższa funkcja jest różniczkowalna w całej swej dziedzinie (dzięki temu mamy pewność o istnieniu pochodnych cząstkowych).

Dywergencja pola wektorowego $\bold A$ jest skalarnym operatorem różniczkowym, określonym następującą formułą:

$\operatorname{div}\, \bold A = \lim_{|S| \to 0}~{\iint\limits_{S} \bold A d \bold S \over |V|}$

Gdzie $V \subset \mathbb R^3$ jest obszarem w przestrzeni, $S \subset \mathbb R^3$ brzegiem tego obszaru (czyli pewną powierzchnią zamkniętą), a $| S |$ oznacza pole powierzchni $S$ .

Całka podwójna występująca w definicji nosi nazwę strumienia pola wektorowego $\bold A$ po powierzchni $S$ .

[edytuj] Własności

Powyższa definicja stanowi, iż dywergencja pola wektorowego $\bold A$ jest operatorem przekształcającym $\bold A$ w pewne pole skalarne $α$ . Przy czym $α(x, y, z)$ oznacza strumień przypadający na jednostkę powierzchni w punkcie $(x, y, z)$ .

Można udowodnić, że przy powyższych założeniach dotyczących pola $\bold A$ (różniczkowalność) dywergencja jest określona w całej dziedzinie pola $\bold A$ . Przy czym można ją obliczyć korzystając ze wzoru

$\operatorname{div}\, \bold A = \frac {\partial A_x}{\partial x}+\frac {\partial A_y}{\partial y}+\frac {\partial A_z}{\partial z}$

Gdzie $A x, A y, A z$ oznaczają składowe wektora $\bold A$ w kierunku odpowiednio $x, y, z$ .

W przypadku gdy pole wektorowe określone zostało za pomocą kartezjańskiego układu współrzędnych, można zdefiniować operator wektorowo-różniczkowy zwany operatorem nabla:

$\nabla = \frac {\partial }{\partial x} \bold i_x + \frac {\partial }{\partial y} \bold i_y + \frac {\partial }{\partial z} \bold i_z$ ,

gdzie $\bold i_x, \bold i_y, \bold i_z$ są polami wektorowymi, zwanymi wersorami układu współrzędnych kartezjańskich, określonymi następująco:

$\mathbb R^3 \ni (x, y, z) \to \bold i_x = (1, 0, 0)$ ,

$\mathbb R^3 \ni (x, y, z) \to \bold i_y = (0, 1, 0)$ ,

$\mathbb R^3 \ni (x, y, z) \to \bold i_z = (0, 0, 1)$ ,

co zapisuje się jako formalny iloczyn skalarny operatora nabla i pola $\bold A$

$\operatorname{div}\, \bold A = \nabla \cdot \bold A$

W układach innych niż kartezjański nie ma formalnej definicji operatora nabla! Przy czym słuszny jest następujący wzór (dla układów współrzędnych ortogonalnych):

$\operatorname{div}\, \bold A = {1 \over h_1 h_2 h_3} \left( \frac {\partial (A_1 h_2 h_3)}{\partial x} + \frac {\partial (A_2 h_1 h_3)}{\partial y} + \frac {\partial (A_3 h_1 h_2)}{\partial z} \right)$ ,

gdzie $h 1, h 2, h 3$ są to pola skalarne związane z układem współrzędnych, zwane współczynnikami Lamego (współczynnikami metryki) Przykładowo w układzie kartezjańskim są to stałe pola równe 1 na całej dziedzinie.

Każde pole F o zerowej dywergencji ( $d i v A = 0$ ) można przedstawić jako rotację pewnego pola wektorowego (istnieje takie pole A, że $F = \nabla \times A$ ); zob. twierdzenie Helmholtza.