Operator nabla

Z Wikipedii

Nabla - operator różniczkowy traktowany w operacjach rachunkowych jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów.

W trójwymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych, wyrażony jako współrzędne wektora:

$\nabla = \left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$

lub jako suma wektorów:

$\nabla = \mathbf{i}{\partial \over \partial x} + \mathbf{j}{\partial \over \partial y} + \mathbf{k}{\partial \over \partial z}$

gdzie:

$(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ to wektory bazowe czyli wektory jednostkowe (wersory) o kierunkach i zwrotach zgodnych z kolejnymi osiami (X,Y, Z) układu współrzędnych w R³.

Operator nabla może być uogólniony na n-wymiarową przestrzeń euklidesową Rⁿ. W kartezjańskim układzie współrzędnych ze współrzędnymi (x₁, x₂, ..., x_n), nabla jest określona:

$\nabla = \sum_{i=1}^n e_i {\partial \over \partial x_i}$

gdzie $\{ e_i: 1\leq i\leq n\}$ wersory bazowe układu współrzędnych.

Używając sumacyjnej notacji Einsteina zapisuje się jako:

$\nabla = \hat e_i \partial_i.$

Operator nabla może być wyrażony też w niekartezjańskich układach współrzędnych, lecz zazwyczaj wzory są bardziej złożone.

Spis treści

1 Działanie operatora nabla na
- 1.1 Pole skalarne
- 1.2 Pole wektorowe
2 Dwukrotne działanie operatora
3 Zobacz też

[edytuj] Działanie operatora nabla na

[edytuj] Pole skalarne

Operator nabla działając na funkcję skalarną określoną w przestrzeni (pole skalarne) f tworzy pole wektorowe $\mathbf{W}$ . Wyrażenie to jest zapisywane i postrzegane jako iloczyn wektora przez liczbę, wynikiem tego działania jest wektor. Czyli:

$\nabla f=\left({\partial f \over \partial x}, {\partial f \over \partial y}, {\partial f \over \partial z}\right).$

$\nabla f= \mathbf{W}$

Operator ten to gradient.

[edytuj] Pole wektorowe

Operator nabla może być użyty też na funkcji wektorowej czyli na polu wektorowym, tworząc pole tensorowe (tensor), pole wektorowe lub pole skalarne. Operacje te zapisuje się symbolicznie jako odpowiednie działania na symbolicznym wektorze nabla i wektorze pola: iloczyn tensorowy, iloczyn wektorowy i iloczyn skalarny wektorów.

Iloczyn tensorowy operatora i wektora pola $v$ zapisywany jest jako $\nabla \otimes v$ i reprezentuje iloczyn diadyczny.

Iloczyn wektorowy operatora i wektora pola zapisywany jest jako $\nabla \times v$ i odpowiada rotacji:

$\nabla \times v=\left( {\frac{\partial v_3}{\partial y}} - {\frac{\partial v_2}{\partial z}}, {\frac{\partial v_1}{\partial z}} - {\frac{\partial v_3}{\partial x}}, {\frac{\partial v_2}{\partial x}} - {\frac{\partial v_1}{\partial y}} \right)$

Iloczyn skalarny operatora i wektora pola zapisywany jest jako $\nabla \cdot v$ i odpowiada dywergencji:

$\nabla \cdot v = {\partial v_1 \over \partial x} + {\partial v_2 \over \partial y} + {\partial v_3 \over \partial z}$

[edytuj] Dwukrotne działanie operatora

Dla pola skalarnego f, wynikiem działania operatora różniczkowego jest wektor $\nabla f$ i jest tylko jedna postać tego pola. Otrzymane pole wektorowe można poddać działaniu operatora uzyskując 3 możliwości.

Dla wektorów nie wszystkie drugie różniczki mają znaczenie praktyczne, dlatego zdefiniowano tylko 6 drugich różniczek pola wektorowego

W tabelce przedstawiono zapis dwukrotnego działania operatora na pole skalarne i wektorowe

Dla pola skalarnego $f$
$\nabla \cdot \nabla f$	$\nabla \times \nabla f$	$\nabla \otimes \nabla f$
Dla pola wektorowego $v$
$\nabla \cdot \nabla \times v$	$\nabla \times \nabla \times v$	$\nabla \otimes \nabla \times v$
$\nabla ( \nabla \cdot v )$	$\nabla \cdot \nabla \otimes v$	$\nabla \otimes \nabla \otimes v$

Przy czym zachodzą prawidłowości odpowiadające:

$\nabla \times \nabla f = 0$ – oznacza że rotacja pola dla którego istnieje pole skalarne (potencjalne) jest równa zero,

$\nabla \cdot \nabla \times v = 0$

Oraz:

$\nabla \cdot \nabla \otimes v = \nabla ( \nabla \cdot v )$

Pozostaje tylko 6 nietrywialnych drugich pochodnych odpowiadają one operacjom:

$\nabla \cdot \nabla f$	$\nabla \otimes \nabla f$	$\nabla (\nabla \cdot v)$
$\nabla \times \nabla \times v$	$\nabla \otimes \nabla \times v$	$\nabla \otimes \nabla \otimes v$

W celu uproszczenia zapisu stosuje się notację:

$\nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f =\Delta f$

Operator $Δ f$ to laplasjan najważniejszy z operatorów drugiego stopnia.

Dla pól zachowawczych (potencjalnych) macierz $\nabla \otimes \nabla f$ jest macierzą symetryczną, więc jest to macierz hermitowska. Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne.

Dla podwójnego iloczynu wektorowego zachodzi:

$\nabla \times \nabla \times v = \nabla(\nabla \cdot v) - \nabla^2 v.$