Pole wektorowe

Z Wikipedii

Wykres pewnego pola wektorowego dla przestrzeni $\mathbb{R}^2$

Wykres pewnego pola wektorowego dla przestrzeni $\mathbb{R}^3$

Pole wektorowe - funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

[edytuj] Definicja

Niech $(X,μ)$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta $(H_x)_{x\in X}$ ^[1]. Elementy produktu $\prod_{x\in X}H_x$ . nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól $μ$ -mierzalnych nazywamy rodzinę $\Gamma=(h^\alpha)_{\alpha \in \Alpha}$ spełniającą warunki:

funkcja $X\ni x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x\in\mathbb{C}$ jest $μ$ -mierzalna dla $\alpha, \beta\in \Alpha$ .
$\mbox{lin}\{(h^\alpha(x))_{\alpha\in\Alpha}\}=H_x$ ^[2] dla każdego $x\in X$ .

Pole wektorowe

$h\in \prod_{x\in X}H_x$

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje $x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x$ są $μ$ -mierzalne.

Pola $μ$ -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu $\prod_{x\in X}H_x$ ^[3]

[edytuj] Przykłady

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

natężenie pola grawitacyjnego lub przyspieszenie ziemskie opisujace pole grawitacyjne,
natężenie pola elektrycznego opisujące pole elektryczne,
indukcja magnetyczna
potencjał zespolony przepływu - określa prędkość płynięcia płynu w każdym punkcie przestrzeni.

Badaniem pól zajmuje się teoretyczny dział fizyki zwany teoria pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

[edytuj] Bibliografia

Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

Przypisy

↑ Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta $(H_x, (\cdot | \cdot )_x), \; x\in X$ .
↑ Zob. podprzestrzeń liniowa.
↑ Oczywiście, produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Algebra liniowa • Fizyka matematyczna

We provide Linux to the World

Pole wektorowe

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Bibliografia

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach