Element nierozkładalny
Z Wikipedii
Element nierozkładalny - element nieodwracalny pierścienia całkowitego, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech A będzie pierścieniem całkowitym. Element 
nazywamy nierozkładalnym wtedy i tylko wtedy, gdy
- q nie jest elementem odwracalanym pierścienia A oraz
- jeśli
są takie, że q = ab, to albo a lub b jest odwracalne w pierścieniu A.
Przypomnijmy, że element 
jest odwracalny jeśli w pierścieniu A istnieje element odwrotny do a ze względu na mnożenie (tzn jeśli można znaleźć taki 
, że ab = 1). Elementy odwracalne pierścienia A wraz z operacją mnożenia tworzą grupę.
[edytuj] Własności
- Każdy element stowarzyszony z elementem nierozkładalnym jest nierozkładalny.
- Każdy element pierwszy jest nierozkładalny.
- W pierścieniu noetherowskim każdy niezerowy, nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić jako iloczyn elementów nierozkładalnych.
- W pierścieniu ideałów głównych P element
jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, (q) jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy P / (q) jest ciałem.
[edytuj] Przykład
Jeśli K jest ciałem, to każdy wielomian liniowy jest nierozkładalny w pierścieniu K[x]. Na ogół, w pierścieniu K[x] istnieją wielomiany nierozkładalne wyższych stopni, np. wielomian x2 + x + 1 jest nierozkłdalny w ![\mathbb{Z}_2[x], \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x]](../../../../math/5/4/a/54a79ffe6d6051fb7c28e19ad228ca3c.png)
.
[edytuj] Bibliografia
- Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.
