Funkcja uwikłana
Z Wikipedii
Funkcja uwikłana – funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór. Formalnie:
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech X,Y będą przestrzeniami unormowanymi, oraz będzie ciągła. Każdą funkcję , gdzie U jest pewnym podzbiorem X, spełniającą dla każdego równanie nazywamy funkcją uwikłaną funkcji f albo funkcją uwikłaną określoną przez równanie f(x,y) = 0.
Wyznaczanie funkcji uwikłanej sprowadza się do rozwiązania równania f(x,y) = 0 względem y.
[edytuj] Przykłady
- Ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej, zakreśla krzywą, zwaną cykloidą. W odpowiednio dobranym kartezjańskim układzie współrzędnych odcięta x tego punktu równa jest . Parametr t oznacza odległość, o jaką przetoczył się okrąg, a więc przy stałej prędkości toczenia można wartość t utożsamić z upływającym czasem. Każda wartość odciętej x odpowiada innej chwili t. Można więc mówić o funkcji , która przypisuje każdej pozycji punktu x cykloidy wartość t – chwilę, w której punkt znajdował się na pozycji x. Funkcja nie daje się wyrazić w sposób jawny, tj. wzorem postaci jest to funkcja uwikłana przez równanie .
- Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej. Niech U oznacza napięcie elektryczne przyłożone do tego zestawu, zaś I natężenie płynącego w nim prądu. Z natury połączenia szeregowego wynika, że natężenie prądu w oporniku i diodzie jest takie samo, równe I, zaś napięcie na całym zestawie jest sumą napięć na obu elementach: U = Ud + Ur. Prawo Ohma podaje związek pomiędzy napięciem Ur na oporniku i płynącym przezeń prądem I,
,
gdzie R oznacza opór opornika.
Związek pomiędzy napięciem Ud panującym na diodzie i płynącym przez diodę prądem wyraża równanie Shockleya:
,
w którym IS,c - stałe charakterystyczne dla konkretnej diody i temperatury pracy, zaś e – podstawa logarytmu naturalnego.
Powyższe związki można rozwiązać ze względu na napięcia, otrzymując:
,
To pozwala zapisać związek pomiędzy napięciem U przyłożonym do połączenia opornik-dioda i natężeniem płynącego prądu I
().
Oczywiście natężenie prądu zależy od przyłożonego napięcia. Jednak zależność ta nie daje się wyrazić jawnym wzorem - jest to funkcja uwikłana określona przez równanie ().
[edytuj] Lokalna jednoznaczność funkcji uwikłanej
Aby uniknąć kłopotów z wieloznacznością funkcji uwikłanej, bada się jej istnienie w sensie lokalnym, tj. istnienie takiej funkcji , która jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x0, spełnia w tym otoczeniu warunek oraz . Oczywiście jest to możliwe tylko wtedy, gdy x0 i y0 są tak dobrane, że f(x0,y0) = 0. Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
[edytuj] Twierdzenie o funkcji uwikłanej
Niech X,Y będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli jest zbiorem otwartym, a funkcją klasy C1 i dla pewnego punktu
- f(x0,y0) = 0 oraz pochodna cząstkowa ,
to istnieją liczby δ > 0 i η > 0 oraz funkcja klasy C1, że
- ,
- dla każdego punktu jedynym punktem spełniającym równanie f(x,y) = 0 jest punkt .
Założenie zupełności przestrzeni unormowanych jest niezbędne, gdyż dowód twierdzenia o funkcji uwikłanej opiera się o twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie.
[edytuj] Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji uwikłanej
Niech X,Y będą przestrzeniami Banacha, będzie zbiorem otwartym oraz funkcją klasy C1 taką, że różniczka cząstkowa dla każdego . Dalej niech dana będzie funkcja ciągła , gdzie U jest podzbiorem otwartym przestrzeni X. Jeżeli dla każdego
- oraz f(x,ψ(x)) = 0,
to ψ jest funkcją klasy C1 i dla każdego różniczka:
- .
[edytuj] Funkcje rzeczywiste
Niech będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest klasy C1 i dla pewnego punktu spełnia warunki:
- f(x0,y0) = 0 oraz ,
to w pewnym otoczeniu punktu x0 istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła , spełniająca warunki oraz dla x z tego otoczenia.
Ponadto, jeśli w otoczeniu punktu (x0,y0) istnieje ciągła pochodna cząstkowa , to funkcja uwikłana ma ciągłą pochodną daną wzorem
- .
[edytuj] Inne twierdzenia
Czasem przez twierdzenie o funkcji uwikłanej rozumie się następujące twierdzenie:
Niech X,Y,Z będą przestrzeniami Banacha, będą otoczeniami zera (odpowiedniej przestrzeni). Jeśli są funkcjami klasy C1 takimi, że
- ,
- ,
- jest zbiorem domkniętym
wówczas istnieje takie otoczenie zera , że
- .
[edytuj] Źródła
- Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
- Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach 2. Warszawa: PWN, 2005.
- Jinpeng An, Karl-Herman Neeb: An implicit function theorem for Banach spaces and some applications. 2007.