Różniczka
Z Wikipedii
Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: To jest silna różniczka (i w artykule pod tą nazwą powinna się znaleźć). Artykuł powinien omówić w ogólności co to jest różniczka i jakie ma zastosowania, odsyłając do artykułów poświęconych poszczególnym definicjom po szczegóły.. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość. |
Spis treści |
Różniczka (Frécheta) – ciągłe odwzorowanie liniowe przybliżające lokalnie wartości danej funkcji w otoczeniu ustalonego punktu.
Dla funkcji określonych na prostej rzeczywistej, różniczka ściśle związana jest z pojęciem pochodnej funkcji, jednak różniczki mogą być określone także dla funkcji określonych na otwartych podzbiorach dowolnych przestrzeni unormowanych o wartościach w innych (dowolnych) przestrzeniach unormowanych.
[edytuj] Geneza pojęcia
Wprowadzenie pojęcia różniczki funkcji rzeczywistej umożliwiło zastąpienie obiektu złożonego (funkcji), czymś zupełnie podstawowym – funkcją liniową (a dokładniej homotetią). Twórca pojęcia różniczki, Gottfried Wilhelm Leibniz, wprowadził je z pełnym rozmysłem w oparciu o potrzebę lokalnego przybliżania wartości funkcji za pomocą dobrze znanych metod algebry liniowej.
Abstrakcyjna definicja różniczki funkcji w dowolnych przestrzeniach unormowanych została wprowadzona jako uogólnienie definicji różniczki funkcji rzeczywistej. Jest ona podstawowym pojęciem rachunku wariacyjnego.
Istnieją także inne pojęcia związane z zagadnieniem badania lokalnych zmian przyrostów funkcji przestrzeni unormowanych. Często mówi się o słabej różniczkowalności (inaczej: różniczkowalności w sensie Gâteaux) lub pochodnej Diniego. Różniczka Frécheta jest jednak najbardziej naturalnym uogólnieniem pojęcia różniczki funkcji rzeczywistej.
[edytuj] Definicja
Niech będą dowolnymi przestrzeniami unormowanymi, oznacza zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań liniowych z X do Y, a D będzie niepustym, otwartym podzbiorem X.
Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w , jeśli istnieje przekształcenie liniowe takie, że
- .
[edytuj] Warunki równoważne
Innymi słowy, F jest różniczkowalna w x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje oraz funkcja spełniająca warunki:
- F(x0 + h) − F(x0) = Ah + rF(x0,h)
Jeszcze inaczej, F jest różniczkowalna w x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje oraz funkcja , która jest ciągła w zerze oraz tak, że zachodzi
Jeśli F jest różniczkowalna w , to istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie liniowe ciągłe, że spełniona jest główna definicja) – nazywamy je wówczas różniczką Frécheta funkcji F w punkcie x0 i oznaczamy dF(x0) lub .
[edytuj] Różniczkowalność a otwartość zbioru D
Rozważając pojęcie różniczki (Frécheta) bierzemy otwarty podzbiór D przestrzeni unormowanej i rozkładamy przyrost (por. pierwszy z warunków równoważnych różniczkowalności powyżej) na część liniową i resztę rzędu mniejszego od h. Założenie otwartości zbioru D jest konieczne z tego powodu, że szukane odwzorowanie liniowe (czyli różniczka) jest wyznaczone jednoznacznie, jeśli znane są jego wartości w pewnym otoczeniu zera.
Dla przykładu niejednoznaczności, rozważmy zbiór domknięty oraz funkcję
- f(x,y) = x + y.
Różniczka funkcji f w punkcie (x0,y0) jest odwzorowaniem liniowym - jej macierz składa się jednego wiersza. Mamy więc:
- f(x0 + h1,y0 + h2) − f(x0,y0) = h1 + h2.
Aby jednocześnie musi być h1 = h2. Widać stąd, że różniczka funkcji f w punkcie (x0,y0) jest postaci [1 + a,1 − a], gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, a zatem w tym przypadku mamy brak jednoznaczności różniczki. Można jednak przyjąć następującą definicję:
Niech V będzie dowolnym, niepustym podzbiorem przestrzeni unormowanej X i niech Y będzie przestrzenią unormowaną. Mówimy, że odzworowanie jest różniczkowalne w zbiorze V, jeśli istnieje zbiór otwarty i odzworowanie F1 różniczkowalne w U, że F1 | V = F. Różniczką odzworowania F w punkcie nazywamy różniczkę odzworowania F1 w tym punkcie.
Powyższa definicja nie zapewnia jednak jednoznaczności różniczki odwzorowania określonego na zbiorze nieotwartym. Różniczka jest natomiast wyznaczona jednoznacznie we wnętrzu zbioru V. Definicję tę można przenieść na różniczki wyższych rzędów.
[edytuj] Uwagi
- Jeżeli F jest różniczkowalna w x0, to jest ciągła w x0. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
- Jeżeli F jest różniczkowalna w x0, to jest słabo różniczkowalna w x0.
- Jeżeli w punkcie x0 istnieją i są ciągłe wszystkie różniczki cząstkowe funkcji F, to jest ona różniczkowalna w x0.
[edytuj] Różniczka funkcji rzeczywistej
Niech f będzie funkcją określoną na pewnym przedziale otwartym P o wartościach rzeczywistych. Funkcja ta jest różniczkowalna w w sensie Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pochodna w tym punkcie. Wówczas dla każdego
[edytuj] Twierdzenie o różniczkowaniu złożenia
Niech będą przestrzeniami unormowanymi, będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje , że . Jeśli f jest różniczkowalna w , to złożenie jest różniczkowalne w f(x0) oraz
[edytuj] Kombinacje liniowe
Różniczka kombinacji liniowej funkcji różniczkowalnych jest kombinacją liniową ich różniczej, formalnie powyższe twierdznie można wypowiedzieć w sposób następujący:
Niech będą przestrzeniami unormowanymi nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz D będzie niepustym, otwartym podzbiorem X oraz funkcje będą różniczkowalne w . Wówczas, dla wszelkich funkcja αf + βg jest różniczkowalna w x0 i prawdziwy jest wzór
- d(αf + βg)(x0) = αdf(x0) + βdg(x0).
[edytuj] Funkcje rzeczywiste
Niech będą niepustymi, otwartymi podzbiorami oraz dane będą funkcje , a przy tym . Jeśli f jest różniczkowalna w x0, to jest różniczkowalna w f(x0) oraz dla odwzorowań
prawdziwa jest równość
- .
[edytuj] Przykład zastosowania
Korzystając z rachunku różniczkowego można w dość szybki sposób obliczać wartości skomplikowanych wyrażeń. Na przykład, przybliżoną wartość wyrażenia :
- Rozważmy funkcję daną wzorem .
- (x0,y0) = (2,4),
(h1,h2) = (0,03, − 0,002) - I ostatecznie:
.