Homeomorfizm
Z Wikipedii
Homeomorfizm – ciągła funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednej przestrzeni topologicznej w drugą będąca otwartą (lub równoważnie domkniętą).
Spis treści |
[edytuj] Intuicje
Dwie przestrzenie topologiczne, które są homeomorficzne (czyli istnieje między nimi homeomorfizm), są w topologii uważane za topologicznie równoważne, czyli rozpatrywane jako obiekty jednej klasy (por. klasa abstrakcji). Jednym z zadań topologii jest badanie niezmienników i homeomorfizmów, czyli tych własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych. Z tego względu wspomniane niezmienniki homeomorfizmów nazywane są również niezmiennikami topologicznymi.
W przestrzeniach euklidesowych (takich jak prosta, płaszczyzna, czy przestrzeń trójwymiarowa z metryką euklidesową) o homeomorfizmie można myśleć jako o przekształceniu, które pozwala na dowolne rozciąganie, wyginanie, skręcanie obiektu, jednak zabrania „robienia w nim dziur”, „rozrywania go”, czy też „sklejania”.
[edytuj] Definicja formalna
Funkcję przestrzeni topologicznej (X,τX) w przestrzeń topologiczną (Y,τY) jest homeomorfizmem, gdy:
- f jest funkcją różnowartościową,
- f(X) = Y, czyli f jest funkcją "na",
- oba przekształcenia f oraz są ciągłe.
[edytuj] Uwagi
- Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
- Ciągła bijekcja może nie być homeomorfizmem, gdyż warunek ciągłości funkcji odwrotnej nie musi być zachowany.
[edytuj] Przykłady
- W poniższym przykładzie litery i cyfry w każdej grupie są homeomorficzne, symbole z różnych grup homeomorficzne nie są (A jest homeomorficzne tylko z R, B tylko z 8 i tak dalej).
- Zauważmy, że wszystkie litery znajdujące się w trzeciej grupie powstały przez zwykłe wygięcie odcinka (por. krzywa).
- Podobnie okrąg jest homeomorficzny z kwadratem lub trójkątem, lecz nie z odcinkiem.
- Analogicznie odcinek otwarty (bez końców) jest homeomorficzny z całą prostą. W tym przypadku łatwo wskazać odpowiedni homeomorfizm na przedział ( − 1,1), po czym pozostaje odpowiednie jego umieszczenie na osi za pomocą przekształcenia afinicznego, będącego również homeomorfizmem.
[edytuj] Sprzężenie topologiczne
Dwa homeomorfizmy nazwiemy topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm , nazywany homeomorfizmem sprzęgającym, że
[edytuj] Zanurzenie homeomorficzne
Przekształcenie nazywamy zanurzeniem homeomorficznym, jeśli jest złożeniem homeomorfizmu i zanurzenia, tj. jeśli istnieją podprzestrzeń L przestrzeni Y oraz homeomorfizm taki, że . Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni X w Y, to mówimy, że X jest zanurzalna w Y.