Torus (matematyka)
Z Wikipedii
Torus (łac. armila) - dwuwymiarowy torus (oznaczany często T2) to dwuwymiarowa powierzchnia geometryczna leżąca w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół osi (dookoła prostej) leżącej w tej samej płaszczyźnie co ten okrąg, i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów).
Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.
Spis treści |
[edytuj] Wzory
Jeśli okrąg ten ma promień r, a odległość prostej od jego środka wynosi R, to pole powierzchni S torusa wynosi S = 4π2rR, a objętość V = 2π2Rr2. Równanie torusa ma postać: .
[edytuj] Uogólnienie
Uogólnienie definicji torusa może polegać na rozważeniu płaszczyzny i utożsamieniu punktów odległych w pewnym kierunku o odległość X, zaś w innym niezależnym kierunku o Y, gdzie X i Y są ustalonymi liczbami. Utożsamienie takie przeprowadza płaszczyznę w tzw. kratę. Jest to przykład odwzorowania, które przeprowadza płaszczyznę w torus, i które łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary (utożsamienie punktów odległych w trzech różnych kierunkach o X, Y, Z odpowiednio itd. dla większej liczby wymiarów).
Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.
[edytuj] Parametryzacja torusa
Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie xz o środku w punkcie , R > 0 i promieniu r > 0. Wówczas jego parametryzacja przedstwaia się następująco:
Obróćmy ten okrąg wokół okręgu o promieniu R > 0, gdzie R > r w płaszczyźnie prostopadłej o kąt v wokół osi z (środek mniejszego okręgu leży na dużym okręgu). W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:
.
Zatem
.
Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:
[edytuj] Krzywizna Gaussa torusa
Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym w punkcie można wyznaczyć ze wzoru
Dla torusa o zadanej wcześniej parametryzacji mamy:
-
-
- , .
-
Stąd
-
-
- , ,
- , .
-
Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej dostajemy
Zauważmy, że dla:
- mamy cosu > 0, czyli KP > 0 na zewnętrznej stronie torusa,
- mamy cosu = 0, czyli KP = 0 na górze i dole torusa,
- mamy cosu < 0, czyli KP < 0 po wewnętrznej stronie torusa,
- u = 0 wówczas KP przyjmuje maksimum tj. na największym okręgu (równoleżniku),
- u = π wówczas KP przyjmuje minimum tj. na najmniejszym okręgu (równoleżniku).