Homomorfizm
Z Wikipedii
Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech:
- i będą algebrami ogólnymi tego samego typu,
- będzie funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B,
- dla niech a(i) będzie arnością operacji fi oraz gi (liczba argumentów obu funkcji musi być równa, ponieważ algebry i mają ten sam typ).
Wtedy h jest homomorfizmem algebry w algebrę , jeśli dla każdego oraz ciągu elementów zbioru A zachodzi równość:
- .
Oznacza to, że dla każdego odwzorowanie h przeprowadza operację fi w operację gi.
Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, np.:
- homomorfizm grup,
- homomorfizm pierścieni,
- homomorfizm przestrzeni liniowych (przekształcenie liniowe).
[edytuj] Przykłady
Niech G = (G, + , − ,0) oraz będą grupami abelowymi (to założenie nie jest konieczne – przykład obowiązuje również dla grup w ogólności) oraz . Załóżmy, że . Wtedy h jest homomorfizmem grupy G w grupę H. Istotnie, h przeprowadza działanie grupowe + na działanie na mocy powyższego założenia.
Ponadto można łatwo pokazać, że h przekształca element neutralny względem działania w G na element neutralny względem działania H, to znaczy ma miejsce równość h(0) = θ. Podobnie, nietrudno wykazać, że .
Oznaczmy przez G zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania + oraz przez H zbiór liczb rzeczywistych z działaniem będącym zwykłym mnożeniem tych liczb. Wtedy homomorfizmem h może być funkcja wykładnicza h(x) = ex, która przesyła sumę 2 + 3 na iloczyn .
[edytuj] Rodzaje homomorfizmów
Homomorfizm, który jest:
- iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
- suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
- bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
- odwzorowaniem struktury w samą siebie, nazywamy endomorfizmem,
- wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.