Algebra ogólna

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Działania i typ
2 Przykłady
3 Zobacz też

Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

[edytuj] Definicja

Algebrą ogólną $\mathcal A$ nazywamy strukturę matematyczną, opisaną krotką $(A, \varphi_1, \ldots, \varphi_n)$ , gdzie:

$A$ oznacza dowolny zbiór nazwany nośnikiem lub uniwersum oraz
$\varphi_1, \ldots, \varphi_n$ będące działaniami (operacjami) określonymi na powyższym zbiorze oraz $n \in \mathbb N_1$ .

Powyższa definicja określa algebry o skończonej liczbie działań, często rozważa się także algebry o nieskończenie wielu działaniach (najczęściej wprowadzanych indukcyjnie).

[edytuj] Działania i typ

Zobacz więcej w osobnym artykule: działanie algebraiczne.

Przez działanie określone na zbiorze $A$ rozumie się dowolną funkcję przekształcającą pewną potęgę kartezjańską (wieloczłonowy iloczyn) zbioru $A$ w zbiór $A$ :

$\varphi_i: A^{\alpha_i} \to A$ , gdzie $\alpha_i \in N_0$ dla $i=1, \ldots, n$ .

Liczby $α i$ nazywa się argumentowością lub arnością działania $\varphi_i$ . Samo działanie $\varphi_i$ określa się wówczas jako $α i$ –argumentowe lub $α i$ –arne.

Najczęściej spotykanymi działaniami są działania dwuargumentowe, jednoargumentowe oraz zeroargumentowe, które nazywa się również elementami wyróżnionymi lub stałymi algebry $\mathcal A$ .

Ciąg liczb $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ nazywamy typem tej algebry.

[edytuj] Przykłady

Jako przykłady algebr ogólnych mogą służyć wszystkie podstawowe obiekty rozważań algebraicznych, wśród nich zaś między innymi: grupy, pierścienie, ciała i moduły.

Jedną z najczęściej rozważanych algebr ogólnych jest algebra $\mathbb Z = (\mathrm Z, +, -, 0)$ , gdzie:

$Z$ oznacza zbiór liczb całkowitych,
$+$ jest zwykłym dodawaniem liczb całkowitych (a więc działaniem dwuargumentowym)
$-$ oznacza jednoargumentową operację brania elementu przeciwnego,
$0$ jest elementem wyróżnionym, czyli działaniem zeroargumentowym.

Typem algebry $\mathbb Z$ jest w tym przypadku ciąg $(2,1,0)$ . Algebra $\mathbb Z$ jest jednym z podstawowych przykładów grupy abelowej.