Homomorfizm pierścieni

Z Wikipedii

Spis treści

1 Obraz
2 Jądro
3 Monomorfizm
4 Epimorfizm
5 Przykłady
6 Zobacz też

Homomorfizm pierścieni to, nieformalnie, przekształcenie z jednego pierścienia w drugi zachowujące strukturę.

Niech $(R, +, \cdot)$ oraz $(S, \oplus, \odot)$ będą dowolnymi pierścieniami.

Homomorfizmem pierścieni $R$ i $S$ nazywamy dowolne odwzorowanie $h\colon R \to S$ takie, że

$h(a + b) = h(a) \oplus h(b)$ oraz
$h(a \cdot b) = h(a) \odot h(b)$ .

[edytuj] Obraz

Obrazem homomorfizmu $h$ nazywamy zbiór

$\operatorname{Im}(h) = \{a \in S: \exists_{b \in R}\; a = h(b)\}$ ,

czyli zbiór takich elementów $S$ , które są wartościami odwzorowania $h$ na co najmniej jednym elemencie zbioru $R$ .

Obraz homomorfizmu $h$ jest podpierścieniem pierścienia $S$ .

[edytuj] Jądro

Jądrem homomorfizmu $h$ nazywamy zbiór

$\ker h = \{a \in R: h(a) = 0_S\}$ ,

gdzie $0 S$ oznacza zero pierścienia $S$ .

Jądro homomorfizmu $h$ jest ideałem pierścienia $R$ .

[edytuj] Monomorfizm

Zobacz więcej w osobnym artykule: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy różnowartościowy homomorfizm.

Homomorfizm $h\colon R \to S$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker h = {0_R}$ , gdzie $0 R$ oznacza zero pierścienia $R$ .

[edytuj] Epimorfizm

Zobacz więcej w osobnym artykule: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu "na".

Homomorfizm $h\colon R \to S$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{Im}(h) = S$ .

[edytuj] Izomorfizm

Zobacz więcej w osobnym artykule: izomorfizm.

Homomorfizm $h\colon R \to S$ nazywamy izomorfizmem pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy $h$ jest wzajemnie jednoznaczny, to znaczy gdy jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Odwzorowanie $h - 1$ istnieje (ponieważ $h$ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że pierścienie $R$ i $S$ są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm $h\colon R \to S$ (równoważnie: izomorfizm $g\colon S \to R$ ) i oznaczamy $R \simeq S$ . W dowolnym zbiorze pierścieni relacja izomorficzności $\simeq$ jest relacją równoważności.

[edytuj] Homomorfizm kanoniczny

Niech $R$ będzie dowolnym pierścieniem, zaś $I\subseteq R$ dowolnym jego ideałem. Odwzorowanie $h\colon R \to R/I$ określone $h (a) = [a]$ jest epimorfizmem. Takie odwzorowanie $h$ nazywamy homomorfizmem kanonicznym pierścienia $R$ na pierścień ilorazowy $R / I$ .

[edytuj] Twierdzenie o homomorfizmie

Jeśli $h\colon R \to S$ jest epimorfizmem pierścieni $R, S$ , to $S$ jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym $R/\ker h$ (izomorfizmem jest odwzorowanie $g\colon R/\ker h \to S$ określone $g\left([a]\right) = h(a)$ ) oraz $h = g \circ f$ , gdzie $f\colon R \to R/\ker h$ jest homomorfizmem kanonicznym.