Macierz przekształcenia liniowego
Z Wikipedii
Zasugerowano, aby artykuł elementarne macierze transformacji zintegrować z tym artykułem lub sekcją. |
Spis treści |
Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze.
[edytuj] Definicja
Niech:
- U,V – przestrzenie liniowe nad ciałem K,
- BU = (α1,α2,...,αm) – baza przestrzeni U,
- BV = (β1,β2,...,βn) – baza przestrzeni V,
- – przekształcenie liniowe.
Wtedy każdy wektor należy do przestrzeni V dla , więc musi mieć on jednoznaczne przedstawienie w postaci wektorów bazy przestrzeni V, tj.
- .
Jeżeli współczyniki tego rozkładu zapiszemy jako j-tą kolumnę (j = 1,2,...,m) macierzy A, to operatorowi przyporządkujemy skalarów ai,j(), czyli macierz
o współczynnikach z ciała K.
Macierz A nazywamy macierzą przekształcenia liniowego w bazach BU = (α1,α2,...,αm) i BV = (β1,β2,...,βn).
Innymi słowy, j-ta kolumna macierzy A zawiera współrzędne (czyli współrzędne wartości przekształcenia liniowego na j-ym wektorze bazy BU) w bazie BV.
[edytuj] Przykład
Niech:
- będzie bazą przestrzeni rzeczywistej nad ciałem ,
- będzie bazą przestrzeni nad ciałem ,
- będzie dane wzorem: h(a,b) = (a,2b,a + b).
Znajdźmy macierz przekształcenia h w bazach B1,B2. Najpierw szukamy wartości h na wektorach z bazy B1:
- h(2,0) = (2,0,2),
- h(0,3) = (0,6,3).
Znajdujemy teraz ich współrzędne w bazie B2:
- ,
- .
Wobec tego macierz h w bazach B1,B2 jest postaci: .
[edytuj] Wartość przekształcenia na wektorze
Jeżeli jest macierzą przekształcenia liniowego w bazach BU,BV oraz wektor ma w bazie BU współrzędne: , to ma w bazie BV współrzędne: .
[edytuj] Przykład
Weźmy przekształcenie liniowe i bazy , jak w poprzednim przykładzie. Jego macierz w tych bazach to:
- .
Znajdźmy wartość h na wektorze .
Wektor x ma w bazie B1 współrzędne: .
Zatem h(x) ma w bazie B2 współrzędne: .