Moment bezwładności

Z Wikipedii

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość obrotową.

Moment bezwładności wyraża energię kinetyczną obracającego się ciała sztywnego:

$K=\frac{1}{2}I\omega^2$

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar $M L 2$ . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i odległości od osi obrotu:

I = m r 2

Moment bezwładności ciała składajacego się z punktów materialnych jest sumą momentów punktów ciała:

$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$

gdzie:

m - masa punktu;
r - odległość punktu od osi obrotu.

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

$I = \int r^2dm$

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Spis treści

1 Przykład
2 Moment bezwładności figur płaskich
- 2.1 Moment bezwładności prostokąta
- 2.2 Twierdzenie Steinera dla figur płaskich
3 Zobacz też
4 Linki zewnętrzne

[edytuj] Przykład

Momenty bezwładności przykładowych brył

[edytuj] Rura cylindryczna

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu R₂ i wewnętrznym R₁, obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu r, grubości dr, długości L i gęstości materiału $ρ$ (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

masa elementu: $d m = ρ d V$ ,
objętość elementu: $d V = (2π r d r) L$ ,

skąd wynika, że

$dm=2\pi L\rho rdr\,$ ,

gdzie dV jest objętością cylindrycznej powłoki o masie dm.

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

$I=\int r^2dm=2\pi L\int\limits^{R_{2}}_{R_{1}}\rho r^3dr = 2\pi L \rho \frac{R^{4}_{2}-R^{4}_{1}}{4}=\rho \pi (R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L\frac{R^{2}_{2}+R^{2}_{1}}{2}$

Całkowita masa cylindra m równa się iloczynowi gęstości $ρ$ i objętości V:

$V=\pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1})L$

czyli:

$m=\rho \pi(R^{2}_{2}-R^{2}_{1}) L$

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie m, wewnętrznym promieniu $R 1$ oraz zewnętrznym $R 2$ wynosi:

$I=\frac{1}{2}m(R^{2}_{2}+R^{2}_{1})$

względem osi cylindra.

[edytuj] Walec

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli $R 1 = 0$ , zatem:

$I=\frac{1}{2}mR^{2}$

gdzie R jest promieniem pełnego walca o masie m.

[edytuj] Cienkościenna rura

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli $R 1 = R 2$ , zatem:

$I=\ mR^{2}$

[edytuj] Moment bezwładności figur płaskich

Definicja:

$I_x = \int\limits_A y^2 dA$

$I_y = \int\limits_A x^2 dA$

I_x - moment bezwładności względem osi x,
I_y - moment bezwładności względem osi y,
dA - element powierzchni,
y - odległość dA od osi x.

Momenty bezwładności figury płaskiej to parametry zależne od wielkości i geometrii figury.

Biegunowy moment bezwładności przekroju (tylko kołowego lub pierścieniowego) belki jest parametrem przekroju opisującym wytrzymałość na skręcanie. Gdy przemnożymy biegunowy moment przekroju razy moduł Kirchhoffa, to otrzymamy sztywność na skręcanie belki. Patrz: Skręcanie (wytrzymałość materiałów) (dla przekrojów kołowych $I S = I O$ ).

Moment bezwładności przekroju po angielsku jest zwany Second moment of area.

Moment bezwładności figury płaskiej ma wymiar długość do potęgi czwartej (w SI m⁴).

Biegunowy moment bezwładności to moment bezwładności względem punktu będącego środkiem ciężkości. Definicja:

$I_{O}= \int {\rho}^2 dA = I_{x_C} + I_{y_C}$

[edytuj] Moment bezwładności prostokąta

$I_{x_C}=\frac{bh^3}{12}$ ,

$I_{y_C}=\frac{hb^3}{12}$

$I_{x_C} , I_{y_C}$ osiowe moment bezwładności względem osi symetrii prostokąta, osie te przechodzą przez środek ciężkości figury (względem innych osi momenty będą inne!).
b = szerokość (na osi x)
h = wysokość (na osi y)

[edytuj] Twierdzenie Steinera dla figur płaskich

Twierdzenie Steinera odnosi się także do figur płaskich, oczywiście zamiast masy we wzorze jest powierzchnia.

$I_x = I_{x_C}+Ad^2$ ,

gdzie d oznacza odległość miedzy równoległymi do siebie osiami x i $x C$ .

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Charakterystyki geometryczne przekroju - wprowadzenie do liczenia momentów figur płaskich.

Kategoria: Dynamika

We provide Linux to the World

Moment bezwładności

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Przykład

[edytuj] Rura cylindryczna

[edytuj] Walec

[edytuj] Cienkościenna rura

[edytuj] Moment bezwładności figur płaskich

[edytuj] Moment bezwładności prostokąta

[edytuj] Twierdzenie Steinera dla figur płaskich

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach