Nierówność Czebyszewa

Z Wikipedii

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się, jakie informacje budzą wątpliwości.

Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby.

Nierówność ta jest prawdziwa niezależnie od rozkładu zmiennej losowej, jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Dla konkretnych rozkładów (np. rozkładu normalnego) można podać znacznie lepsze ograniczenia.

[edytuj] Twierdzenie

Dla każdej nieujemnej zmiennej losowej $\,X$ o wartości oczekiwanej $\,E(X)$ , dla każdego $\varepsilon > 0$ zachodzi:

$P\left(X \ge \varepsilon\right)\le \frac{E(X)}{\varepsilon}$

[edytuj] Dowód

Zachodzą następujące nierówności:

$\,X \ge X \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}} \ge \varepsilon \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}$

gdzie $\, \mathbf{1}_{A}$ jest funkcją wskaźnikową zdarzenia $\,A$ , zdefiniowaną jako:

$\, \mathbf{1}_{A}(x) = \begin{cases} 0\quad dla\ x \notin A \\ 1\quad dla\ x \in A \end{cases}$

Pierwsza z nierówności wynika w oczywisty sposób z następujących dwóch nierówności:

$\,X \ge 0$ oraz $\, 1 \ge \mathbf{1}_{A}$

Druga nierówność przyjmuje postać:

$\, X \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}} \ge \varepsilon \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}} \iff \begin{cases} 0 \ge 0 \quad dla\ X \not\ge \varepsilon \\ X \ge \varepsilon \quad dla\ X \ge \varepsilon \end{cases}$

czyli jest oczywista.

Biorąc wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych i korzystając z elementarnych własności wartości oczekiwanej otrzymujemy łańcuszek nierówności:

$\,E(X) \ge E(X \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}) \ge E(\varepsilon \cdot \mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}) = \varepsilon \cdot E(\mathbf{1}_{\{X\ge\varepsilon\}}) = \varepsilon \cdot P(X \ge \varepsilon)$

i dzieląc skrajne wyrazy przez $\,\varepsilon$ otrzymujemy nierówność Czebyszewa.