Nierówność Czebyszewa-Bienayme
Z Wikipedii
Nierówność Czebyszewa-Bienayme podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość zmiennej losowej ze skończoną wariancją leży poza pewnym przedziałem wokół jej wartości oczekiwanej.
Nierówność ta jest prawdziwa niezależnie od rozkładu zmiennej losowej, jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Dla konkretnych rozkładów (np. rozkładu normalnego) można podać znacznie lepsze ograniczenia.
Nierówność Czebyszewa-Bienayme wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa.
[edytuj] Twierdzenie
Dla każdej zmiennej losowej 
o wartości oczekiwanej 
i skończonej wariancji 
i dla każdego 
[edytuj] Dowód
Nierówność Czebyszewa-Bienayme wynika bezpośrednio z podstawienia w Nierówności Czebyszewa 
zamiast oraz 
zamiast 
, której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej haśle.
Jest tak ponieważ 
, oraz z definicji 
.
