Pi

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy liczby. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Spis treści

1 Niewymierność i przestępność liczby π
- 1.1 Dowód niewymierności π
2 Często występujące przekształcenia π
3 Najpopularniejsze aproksymacje wartości π
4 Historia obliczeń wartości π
5 Wzory do obliczania liczby π
6 Kultura π
7 Znak π
- 7.1 Porzucone oznaczenia
8 Niektóre wzory zawierające
9 Zobacz też
10 Przypisy
11 Linki zewnętrzne

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina^[1] - stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnia wartość x, dla której $sin(x) = 0$ .

Liczba π z dokładnością 100 miejsc po przecinku:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π

[edytuj] Niewymierność i przestępność liczby π

Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła.

[edytuj] Dowód niewymierności π

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.

Zakładamy, że $\,{\pi} = \frac{p}{q}$ gdzie $\,{{p,q}\in \mathbb{Z}, {q}\neq{0}}$ .

Ustalamy ciąg $c_n = \frac{q^n}{n!}\int\limits_{0}^{\ \pi}{(x({\pi}-x))^{n}\sin{(x)}dx}$

Można wykazać, że:

$\quad \lim_{{n}\rightarrow{\infty}} c_n=0$
$\quad \forall_{n \in N} \; c_n>0$
$\quad \forall_{n \in N} \; {c_n}\in \mathbb{Z}$

Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie $\,{\pi} = \frac{p}{q}$ prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0.

[edytuj] Często występujące przekształcenia π

$\pi^{2}= 9{,}8696044010893586188344909998762...\quad$

$\pi^{3}= 31{,}006276680299820175476315067101...\quad$

$\sqrt{\pi}=1{,}7724538509055160272981674833411...\quad$

[edytuj] Najpopularniejsze aproksymacje wartości π

Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo 355/113 (ten ostatni ułamek jest równy π z dokładnością 6 miejsc po przecinku).

[edytuj] Historia obliczeń wartości π

Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa

Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3.

Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125.

Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością $\frac {4^4}{3^4} = 3{,}1604\cdots$ .

Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.

W Biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:

Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.

Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie $\! \pi =3$ .

Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba π: $\! \pi \in ( 3 \frac {10}{71} ;3 \frac {1}{7})$ .

Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.

Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π - wcześniejsze - $\pi \approx \frac{22}{7}$ , oraz późniejsze, wynoszące $\frac {355}{113}$ , które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.

Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około roku 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - $\sqrt{10} \approx 3{,}162\cdots$ , stosując własności 12,24,48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio $\sqrt{9{,}56} , \sqrt{9{,}81} ,\sqrt{9{,}86}, \sqrt{9{,}87}$ . W rzeczywistości $\! \pi ^2 \approx 9{,}8696$

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu, do obliczania wartości π, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie.

Ludolph van Ceulen stosując metodę Archimedesa oblicza wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku, publikując wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o $262$ bokach!) - wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615×10¹¹ miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000.

[edytuj] Wzory do obliczania liczby π

Powierzchnia koła jednostkowego:

$2\cdot\int\limits_{-1}^{\ 1} \sqrt{1-x^2}\,dx = \pi$

Obwód okręgu jednostkowego:

$\int\limits_{-1}^{\ 1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi$

François Viète, 1593:

$\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots = \frac2\pi$

Leibniz:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Wallis:

$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Powyższe metody są wolno zbieżne. Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

Funkcję arcus tangens należy rozwinąć w Szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680—1751).

Szybkozbieżnych formuł postaci : $\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n}$ pojawiło się więcej, m.in:

K. Takano (1982):

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$

F. C. W. Störmer (1896):

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$

Inne metody:

Newton:

$\frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)$

Ramanujan:

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$

David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$

Bailey-Borwein-Plouffe Bailey web page (1997)

$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right) = \pi$

[edytuj] Kultura π

Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7=~3.1428). Dla numerologów jest ona symbolem idealnej harmonii.

Tworzone są też bardzo zgrabne, śmieszne wierszyki, a nawet opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.

Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem:

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.

Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)

Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'.

Kuć i orać w dzień zawzięcie,

Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie,

Kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu.

Robota to potęga ludu!

Jaś o kole z wyrwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy już wiesz, skąd zmiana ta wynika ?

Inne przykłady:

Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.

Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta:

Raz w maju, w drugą niedzielę

Pi liczył cyfry pan Felek.

Pomnożył, wysumował,

Cyferki zanotował,

Ale ma ich niewiele...

Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero):

Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.

Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach zawierających mechanikę kwantową!

Popularny jest także następujący wierszyk:

How I wish I could recollect Pi easily today!

Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!

Popularny jest również polski wierszyk:

Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył

Istnieją również żarty na temat tej liczby:

Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?

Elementem poruszającym się po torze jest koło.

A obręcz koła to nic innego jak okrąg.

Należy przeanalizować wzór na długość okręgu:

$O = 2\! \pi r$ . 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem.

I ten hak stuka!

Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna Martela-"Życie Pi".

[edytuj] Znak π

William Jones

Leonhard Euler

Znak π jest oznaczeniem matematycznym wywodzącym się z litery alfabetu greckiego powszechnie używanym do oznaczenia liczby, której wartością jest stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy.

Jej pierwszego utożsamienia z wartością $3{,}14159 \cdots$ dokonał w dziele Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) William Jones, walijski matematyk i pisarz. Oznaczenie to nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków, do czasu użycia go przez Leonarda Eulera w 1737 roku, w dziele Analiza, chociaż można znaleźć je we wcześniejszych pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory'ego. Oznaczenie pochodzi najpewniej ze związku wartości pi i długości obwódu, którego grecka nazwa to περιμετρον.

W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler pisze:

Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159 [etc., to 128 places], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit π = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.

Prawdopodnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina.

[edytuj] Porzucone oznaczenia

Euler w wydanym przed Analizą dziele De summis serierum reciprocarum (1734) używa oznaczenia p dla $Π$ . Co ciekawe, używa on też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738.
W liście, napisanym do Eulera w 1739 roku przez Johanna Bernoulli, używa on oznaczenia c dla liczby pi, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie π.

[edytuj] Niektóre wzory zawierające $\! \pi$

[edytuj] Geometria

Obwód okręgu o promieniu r: $2\pi r\quad$
Pole elipsy o półosiach równych a i b: $S=ab\pi\quad$
Objętość n wymiarowej kuli o promieniu r: $V_n=\frac {\pi^\frac{n} {2} \ } {\Gamma(\frac{n} {2}\ +1)}\ r^{n}$
Powierzchnia kuli o promieniu r: $4\pi r^{2}\quad$
Miara łukowa kąta półpełnego równa jest $π$ radianów
Objętość walca : $V = π r 2 H$

[edytuj] Analiza matematyczna

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)
$\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$
$\int\limits_{-\infty}^{\ \infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ (rozkład normalny)
$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (wzór Stirlinga)
$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (Wzór Eulera, nazywany również najpiękniejszym wzorem matematyki)
$\pi = 4 \int\limits_{0}^{\ 1} \frac{1}{1+x^2};$

[edytuj] Teoria liczb

Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi $\frac{6}{\pi^{2}}$ .
Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą, wynosi $\frac{\pi}{4}$ .

W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np: rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb {1, 2, 3,…, N} a następnie obliczamy granicę przy N dążącym do nieskończoności.

[edytuj] Fizyka

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Pi

$\Delta x\Delta p\ge\frac{h}{4\pi}, \quad \Delta E\Delta t\ge\frac{h}{4\pi}$ (zasada nieoznaczoności Heisenberga)
$G_{\mu \nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu \nu}$ równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Przypisy

↑ nazwa ta pochodzi od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena żyjącego na przełomie XVI i XVII wieku, który podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku

[edytuj] Linki zewnętrzne

E-tekst z projektu Gutenberg zawierający rozwinięcie liczby π długości 10⁶ miejsc po przecinku: http://www.gutenberg.org/etext/50
J.J. O'Connor and E.F. Robertson: A history of Pi. Projekt Mac Tutor: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
Wiele wzorów na liczbę π: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
Jak obliczyć wartość pi
Hasło Pi w encyklopedii PlanetMath.
Znajdź swoją ulubioną liczbę w liczbie Pi
Znajdź swoje imię zakodowane w liczbie Pi
Rozwinięcie dziesiętne pi do 1.000.000 miejsc po przecinku

p • d • e

stałe matematyczne

Lista stałych matematycznych • Pi • Podstawa logarytmu naturalnego • Stała Eulera • Złoty podział • Srebrny podział • Stała Chinczyna • Stała Apéry'ego • Stała Feigenbauma • Stała de Bruijna-Newmana • Stała Meissela-Mertensa • Stałe Bruna • Stała Catalana • Stała Legendre'a • Stała Sierpińskiego

Kategorie: Geometria • Analiza matematyczna • Stałe matematyczne

We provide Linux to the World

Pi