Pierścień z jednoznacznością rozkładu

Z Wikipedii

Pierścień z jednoznacznością rozkładu (pierścień Gaussa, UFD, od ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element (z pewnymi wyjątkami) może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te są uogólnieniem liczb całkowitych, które spełniają podstawowe twierdzenie arytmetyki.

Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu:

pierścienie z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała

[edytuj] Definicja

Dziedzina całkowitości R nazywana jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy

• dla dowolnego niezerowego elementu nieodwracalnego istnieją elementy nierozkładalne takie, że .
• jeżeli , gdzie wszystkie elementy a_i,b_i są nierozkładalne, to m = n i istnieje permutacja π taka, że , to znaczy elementy te są stowarzyszone.

[edytuj] Własności

• Jeżeli R jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to istnieje w nim największy wspólny dzielnik.
• Twierdzenie Gaussa: Jeżeli R jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścień wielomianów R[x] również jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• teoria pierścieni.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.