Podgrupa charakterystyczna

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Uwagi
2 Podgrupa ściśle charakterystyczna
3 Podgrupa całkowicie charakterystyczna
4 Grupa elementarna
5 Własności
- 5.1 Przechodniość
6 Przykłady
7 Bibliografia
8 Przypisy
9 Zobacz też

Podgrupa charakterystyczna – podgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

[edytuj] Definicja formalna

Niech $G$ będzie grupą. Podgrupę $H \leqslant G$ nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) $\varphi\colon G \to G$ grupy $G$ i dla każdego elementu $h \in H$ zachodzi $\varphi(h) \in H$ . Równoważnie: $\varphi(H) \sube H$ , co pociąga za sobą fakt, iż obraz $\varphi(H) = H$ .

Ta właściwość podgrupy $H$ grupy $G$ oznaczana jest symbolem $H \blacktriangleleft G$ lub $H\;\operatorname{char}\;G$ .

[edytuj] Uwagi

Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina $V 4$ każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
Jednakże jeśli $H \vartriangleleft G$ i grupa $G$ nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to $H$ musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

[edytuj] Podgrupa ściśle charakterystyczna

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: nazewnictwo

Podgrupa $H$ nazwana zostanie ściśle charakterystyczną (ang. strictly characteristic subgroup, również distinguished subgroup – podgrupa wyróżniona)^[1] w $G$ , jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

[edytuj] Podgrupa całkowicie charakterystyczna

Jeżeli $H \leqslant G$ jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy $G$ , to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (również całkowicie niezmienniczą albo CC-podgupą). Innymi słowy, jeżeli $\varphi\colon G \to G$ jest dowolnym homomorfizmem, to $\varphi(H) \leqslant H$ .

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, prawdziwe jest twierdzenie odwrotne — każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

[edytuj] Grupa elementarna

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa charakterystycznie prosta.

Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

[edytuj] Własności

Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
Jeśli $G$ jest grupą skończoną, $H$ jest jej podgrupą normalną oraz $\operatorname{NWD}(|H|, |G/H|)=1$ , to $H \blacktriangleleft G$ .

[edytuj] Przechodniość

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli $H$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $G$ , a $G$ (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $E$ , to $H$ jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą $E$ .

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

$H \blacktriangleleft G \vartriangleleft E \implies H \vartriangleleft E$ , w szczególności zaś $H \vartriangleleft G$ .

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupa ← podgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

[edytuj] Przykłady

Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
Jeżeli $G$ jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: $G_k = \{a \in G\colon a^k = 1\}$ oraz $G^k = \{a^k\in G\colon a \in G\},\; k\in\mathbb{N}$ są podgrupami charakterystycznymi grupy $G$ .
Niech dana będzie grupa $G = S_3 \times \mathbb Z_2$ (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum $G$ jest jej drugi czynnik, $\mathbb Z_2$ . Pierwszy czynnik $S 3$ zawiera podgrupę izomorficzną z $\mathbb Z_2$ , np. $\{\operatorname{id}, (12)\}$ . Niech $\varphi\colon \mathbb Z_2 \to S_3$ będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu $G$ na jej drugi współczynnik $\mathbb Z_2$ z $\varphi$ oraz włożeniem $S 3$ w $G$ (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm $G$ w którym obraz centrum $\mathbb Z_2$ nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy $G$ .
Komutant dowolnej grupy $G$ jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu $\sigma \in \operatorname{Aut}(G)$ i dla każdego $x, y \in G$ zachodzi $σ([x, y]) = [σ(x),σ(y)]$ .
Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

[edytuj] Bibliografia

A. Bojanowska, P. Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.
Cz. Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
M. I. Kargapołow, J. I. Mierzliakow: Podstawy teorii grup. PWN, 1976.
W. R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, ss. 45-46. ISBN 0-486-65377-3.
W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Dover, 2004, ss. 74-85. ISBN 0-486-43830-9.

Przypisy

↑ Pierwsze pojęcie pojawiło się w tekstach Bourbakiego w ogólniejszym kontekście algebr. Nie mniej jednak terminologia nie została jeszcze jednoznacznie ustalona (za Groupprops).

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Teoria grup

Ukryta kategoria: Strony do weryfikacji

We provide Linux to the World