Grupa wolna

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Własności
3 Przykłady
4 Zobacz też

Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (za wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak $s t - 1 = s u - 1 u t - 1$ , gdzie $s, t, u$ należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy układem wolnych generatorów grupy (lub bazą grupy).

[edytuj] Definicja formalna

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę $F$ nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór $X \subseteq F\,$ taki, że każde przekształcenie $X\,$ w dowolną grupę $G\,$ można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu $f\colon F \to G\,$ .

Można udowodnić, że każdy taki zbiór $X\,$ musi być układem generatorów grupy $F\,$ , tzn. nie ma podgrupy $F' \subseteq F\,$ spełniącej $X \subseteq F'\,$ i $F' \ne F\,$ .

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór $X\,$ . Każde dwa układy generatorów są równoliczne) – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

[edytuj] Własności

Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
Każda grupa $G\,$ jest obrazem ustalonego homomorfizmu $h\,$ pewnej grupy wolnej $F\,$ .
Jeżeli $H = \ker h\,$ , to obraz układu wolnych generatorów grupy $F\,$ tworzy układ generatorów grupy $G\,$ .
Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że $f(k) = e\,$ , gdzie $k \in H\,$ są generatorami $H\,$ ( $e\,$ oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę $G\,$ .
Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.

[edytuj] Przykłady

Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter w których nie występują pary Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par czyli np.:
- $llPl*Pl=llPlPl\;$
- $llPl*lPl=llPllPl\;$
- $llPp*lP=llPP\;$
- $llPl*pL=ll\;$
- $llPl*pLpp=\varnothing$ czyli ciąg pusty.

tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.:

{l, L}

. Elementem odwrotnym do

l

jast

p

; odwrotnym do

L

jest

P

. Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter $\langle l,\ L\rangle$ oraz $\langle p,\ P\rangle$ . Elementem neutralnym - ciąg pusty.