Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)

Z Wikipedii

Przestrzeń ilorazowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa otrzymana z innej poprzez „zwinięcie” podprzestrzeni liniowej do zera.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady i własności
3 Przestrzenie Banacha
- 3.1 Przykłady
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ , zaś $N$ podprzestrzenią $V$ . Zdefiniujmy na $V$ relację równoważności $\sim$ taką, że $x \sim y \iff x - y \in N$ , czyli $x$ jest w relacji z $y$ wtedy, gdy jedna z wartości może być otrzymana z drugiej poprzez dodanie elementu z $N$ . Klasa równoważności $x$ jest często oznaczana przez

$[x] \equiv x + N$ ,

ponieważ jest dana jako

$[x] = \{x + n: n \in N\}$ .

Klasy równoważności tej relacji nazywane są również warstwami względem podprzestrzeni $N$ wznaczonymi przez wektor $x$ .

Przestrzeń ilorazowa $V / N$ jest wówczas zdefiniowana jako $V / ˜$ , czyli zbiór wszystkich warstw (klas równoważności) nad $V$ . Iloczyn skalarny oraz dodawanie klas równoważności jest zdefiniowane przez równości

$α[x] = [α x]$ dla każdego $\alpha \in K$ ,
$[x] + [y] = [x + y]$ .

Sprawdzenie, że działania te są dobrze zdefiniowane (tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów) nie jest trudne, operacje te przemieniają $V / N$ w przestrzeń liniową nad $K$ .

[edytuj] Przykłady i własności

Najprostszym przykładem jest iloraz przestrzeni $\mathbb R^n$ . Niech $m \le n$ , zaś $\mathbb R^m$ podprzestrzenią rozpinaną przez pierwsze $m$ wektorów bazy kanonicznej. Dwa wektory $\mathbb R^n$ są określane jako równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są zgodne na ostatnich $n - m$ współrzędnych. Przestrzeń ilorazowa $\mathbb R^n/\mathbb R^m$ jest izomorficzna z $\mathbb R^{n-m}$ w oczywisty sposób.

Ogólniej, jeżeli $V$ daje się zapisać jako (wewnętrzna) suma prosta podprzestrzeni $U$ i $W$ :

$V = U \oplus W$ ,

to przestrzeń ilorazowa $V / U$ jest naturalnie izomorficzna z $W$ .

Jeżeli $U$ jest podprzestrzenią $V$ , to kowymiar przestrzeni $U$ w $V$ jest zdefiniowany jako wymiar $V / U$ . Jeżeli $V$ jest przestrzenią skończonego wymiaru, to jest to po prostu różnica wymiarów $V$ oraz $U$ :

$\operatorname{codim} U = \dim V/U = \dim V - \dim U$ .

Istnieje naturalny epimorfizm, zwany epimorfizmem kanonicznym, z $V$ na przestrzeń ilorazową $V / U$ dany jako przesłanie elementu $x$ na jego klasę równoważności $[x]$ . Jądrem tego epimorfizmu jest podprzestrzeń $U$ .

Niech $T\colon V \to W$ będzie przekształceniem liniowym. Jądrem $T$ , oznaczanym przez $\ker T$ jest zbiór wszystkich $x \in V$ takich, że $T x = 0$ . Jądro jest podprzestrzenią $V$ . Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie algebry liniwej mówi, że przestrzeń ilorazowa $V/\ker T$ jest izomorficzna z obrazem $V$ w $W$ . Bezpośrednim wnioskiem (dla przestrzeni skończeniewymiarowych) jest twierdzenie twierdzenie o rzędzie: wymiar $V$ jest równy sumie wymiarów jądra i obrazu.

Kojądro operatora liniowych $T\colon V \to W$ jest zdefiniowane jako przestrzeń ilorazowa $W/\operatorname{im}\;T$ , zaś $V/\ker T \simeq \operatorname{im} T$ .

Jeżeli $T$ będzie dane tak, aby $W \subseteq \ker T$ , zaś $R\colon V \to V/W$ będzie epimorfizmem kanonicznym, to istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie liniowe $S\colon V/W \to W$ , że $S \circ R = T$ . Ponadto jeśli:

$S$ jest epimorfizmem, to $T$ również jest epimorfizmem,
$W = \ker T$ , to $S$ jest monomorfizmem.

[edytuj] Przestrzenie Banacha

Jeżeli $X$ jest przestrzenią Banacha, a $M$ domkniętą podprzestrzenią $X$ , to iloraz $X / M$ również jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń ilorazowa posiada już strukturę przestrzeni liniowej na podstawie powyższych rozważań. Zdefiniujmy normę na $X / M$ wzorem

$\|[x]\|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X$ .

Przestrzeń ilorazowa $X / M$ jest zupełna względem tej normy, zatem jest to przestrzeń Banacha.

[edytuj] Przykłady

Niech $C [0,1]$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji rzeczywistych na przedziale $[0,1]$ , zaś $M$ oznacza podprzestrzeń wszystkich funkcji $f \in C[0,1]$ takich, że $f (0) = 0$ . Wówczas warstwa (klasa równoważności) danej funkcji $g$ jest określona poprzez jej wartość w zerze, a przestrzeń ilorazowa $C [0,1] / M$ jest izomorficzna z $\mathbb R$ .