Równanie Diraca

Z Wikipedii

Równanie Diraca jest podstawowym równaniem w relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowanym przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku. Spełnia ono taką samą rolę jak równanie Schrödingera w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. W opisie relatywistycznym równanie Diraca ma elegancką postać:

$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-\frac{m_{0} c}{\hbar})\Psi(x^{\nu})=0$

gdzie:

$\left. x^{\nu}=(x^0=c t, x^1,x^2,x^3) \right.$ - współrzędne punktu w czasoprzestrzeni

$\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ - czterogradient

[edytuj] $γ μ$

Obiekty $γ μ$ są czterowymiarowymi macierzami zespolonymi (macierzami gamma), są one tak dobrane by spełnione również było równanie Kleina-Gordona. Narzuca to regułę antykomutacyjną postaci:

$\left\{ \gamma^{\mu},\gamma^{\nu} \right\} =2g^{\mu \nu}I$

gdzie:

$\left\{ A,B \right\}=AB+BA$ - antykomutator

Jest bardzo wiele sposobów wyboru tych macierzy, np. reprezentacja Pauliego - Diraca ma postać:

$\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix}$ , $\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & \sigma_{i}\\-\sigma_{i}&0\end{pmatrix}$

$σ i$ (i=1,2,3) są macierzami Pauliego.

[edytuj] $Ψ(x ν)$

Obiekt $Ψ(x ν)$ jest nazywany bispinorem Diraca, jest to macierz zespolona pionowa o czterech wierszach:

$\Psi(x^{\nu}) = \left( \begin{matrix} \psi_{1}(x^{\nu}) \\ \psi_{2}(x^{\nu}) \\ \psi_{3}(x^{\nu}) \\ \psi_{4}(x^{\nu}) \\ \end{matrix} \right)$

Bispinor Diraca jest odpowiednikiem funkcji falowej w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. Gęstość prawdopodobieństwa w teorii Diraca jest zdefiniowana jako:

$\rho = \Psi ^{\dagger} \Psi = |\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2}+|\psi_{3}|^{2}+|\psi_{4}|^{2}$