Transmitancja operatorowa

Z Wikipedii

Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych:

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$ .

Jest alternatywną do równań stanu metodą opisu układu dynamicznego.

Transmitancja określa ogólne własności stacjonarnego układu liniowego o jednym wejściu i jednym wyjściu, niezależne od rodzaju wymuszenia. Dla układu wielowymiarowego o r wejściach i m wyjściach można określić m x n transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem. Transmitancji używa się często dla uproszczenia obliczeń związanych z projektowaniem układu złożonego z wielu elementów, głównie w cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, elektronice i automatyce.

Spis treści

1 Transmitancje układów ciągłych
2 Transmitancje układów dyskretnych
3 Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów
4 Wyznaczanie eksperymentalne
5 Zobacz też

[edytuj] Transmitancje układów ciągłych

Dla układów opisanych liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s, tzn. można ją przedstawić za pomocą ilorazu dwóch wielomianów:

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\ldots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1} +\ldots+a_1s+a_0}$ ,

gdzie dla układów realizowalnych fizycznie $m \leq n$ .

Pierwiastki licznika określane są zerami transmitancji, natomiast pierwiastki mianownika określa się biegunami transmitancji lub wartościami własnymi.

[edytuj] Transmitancje układów dyskretnych

Układy dyskretne opisywane są za pomocą równań różnicowych. Transmitancja operatorowa układów dyskretnych opiera się o przekształcenie Z. Transmitancją impulsową układu dyskretnego nazywa się stosunek transformaty Z odpowiedzi układu do transformaty Z sygnału wejściowego, przy zerowych warunkach początkowych:

$G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}$ .

Zastosowanie przekształcenia Laplace'a do układów impulsowych daje w efekcie nieskończone szeregi, co zwykle nie jest wygodne w obliczeniach.

[edytuj] Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów

Stosując podstawienie $s = j ω$ można przekształcić transmitancję $H (s)$ w zależność $H (j ω)$ pozwalającą wyznaczyć odpowiedź układu dynamicznego na dowolny sygnał wejściowy reprezentowany przez złożenie harmonicznych składowych sinusoidalnych.

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie $A w e$ , pulsacji $ω$ i fazie $p w e$

$x(t) = A_{we} e^{j(\omega t + p_{we})}$ ,

(gdzie i oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie $A w y$ i fazie $p w y$ :

$y(t) = A_{wy} e^{j(\omega t + p_{wy})}$ .

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość ω pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja $H (j ω)$ opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości ω). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

$\frac{A_{wy}}{A_{we}} = | H(j\omega) |$ ,

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

p w y - p w e = arg(H (j ω))

Transmitancja $H (j ω)$ może zostać tez wyznaczona za pomocą transformat Fouriera.

[edytuj] Wyznaczanie eksperymentalne

Załóżmy, że mamy dany stacjonarny liniowy układ dynamiczny. Na jego wejście podano sygnał u(t) i na wyjściu uzyskano odpowiedź y(t). Jeżeli dokonamy transformaty Laplace'a funkcji opisujących sygnał wejściowy i wyjściowy

$Y(s) = \mathcal{L} \left\{y(t)\right\}$

$U(s) = \mathcal{L} \left\{u(t)\right\}$

i podzielimy otrzymane transformaty to otrzymamy transmitancję układu G(s):

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$ .

Badanie układu o nieznanych właściwościach dokonuje się poprzez podanie na jego wejście sygnału (najczęściej skok jednostkowy) i wyznaczenie przebiegu sygnału wyjściowego, przybliżanego funkcją matematyczną, której znajomość pozwala na określenie transmitancji. Na podstawie znajomości funkcji przejścia można wyznaczyć sygnał jaki uzyskamy na wyjściu układu dla dowolnego sygnału wejściowego. Wystarczy dokonać odwrotnej transformaty Laplace'a:

$y(t)= \mathcal{L}^{-1}\left\{U(s)\cdot G(s)\right\}$ ,

gdzie G(s) jest transmitancją układu, a U(s) transformatą Laplace'a sygnału wejściowego.

Innym częstym zastosowaniem transmitancji jest wyznaczanie wartości, do której zmierza sygnał wyjściowy układu przy zadanym wejściu. Korzysta się wtedy z własności granicznych transformaty Laplace'a (twierdzenie o wartości granicznej):

$y(\infty)=\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} \left( s\cdot G(s) \cdot U(s)\right)$ ,

gdzie y(t) oznacza przebieg sygnału wyjściowego w czasie, a U(s) transformatę Laplace'a sygnału wejściowego.

[edytuj] Zobacz też

We provide Linux to the World

Transmitancja operatorowa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Transmitancje układów ciągłych

[edytuj] Transmitancje układów dyskretnych

[edytuj] Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów

[edytuj] Wyznaczanie eksperymentalne

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach