Wartość własna
Z Wikipedii
Wartość własna operatora liniowego 
przestrzeni liniowej X nad ciałem K, to taki skalar 
że dla pewnego niezerowego 
spełniony jest związek:
- Tx = λx.
Zwykle zakłada się, że przestrzeń X jest rzeczywista bądź zespolona oraz jest w niej określona liniowa topologia - w zastosowaniach (np. do równań różniczkowych) często bada się wartości własne operatorów liniowych, określonych na przestrzeniach Banacha, Hilberta itp. W dalszej części artykułu będziemy zakładać ogólnie, że X jest pewną przestrzenią Banacha, a jest ustalonym operatorem liniowym i ciągłym.
Spis treści |
[edytuj] Wektory i podprzestrzenie własne
Danej wartości własnej λ operatora T odpowiada zbiór
,
będący domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni X. Zbiór ten nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λ, a jego elementy odpowiednio wektorami własnymi. Wymiar przestrzeni Xλ(T) nazywamy wielokrotnością wartości własnej λ.
[edytuj] Własności
- Jeżeli T jest samosprzężonym operatorem liniowym na przestrzeni Hilberta X, to wartości własne tego operatora są rzeczywiste, ponadto wektory własne, odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
- Jeżeli jest wartością własną operatora T, to
. Założenie zupełności przestrzeni jest tu nieistotne. - Liczba jest wartością własną operatora T wtedy i tylko wtedy, gdy operator Tλ = λI − T nie jest różnowartościowy.
[edytuj] Przykłady
[edytuj] Operatory liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych
Zobacz więcej w osobnym artykule: widmo macierzy.Jeżeli przestrzeń X jest skończenie wymiarowa, to przy ustalonej bazie tej przestrzeni operator T reprezentowany jest przez pewną macierz - wówczas zamiast o wartości własnej operatora mówimy o wartości własnej macierzy. Macierz operatora (przekształcenia liniowego) przestrzeni skończeniewymiarowej jest kwadratowa. Wartości własne macierzy kwadratowej 
są pierwiastkami jej wielomianu charakterystycznego:
- wA(λ) = det(A − λI),
gdzie I jest macierzą jednostkową.
Zbiór wszystkich wartości własnych operatora tworzy widmo punktowe operatora (w szczególności, gdy operator jest reprezentowany przez macierz, mówimy o widmie macierzy).
- Jeżeli macierz A jest symetryczna, to wszystkie jej wartości własne są liczbami rzeczywistymi.
- Po transpozycji macierzy A, jej wartości własne nie ulegają zmianie.
[edytuj] Równanie całkowe jednorodne Fredholma
Zobacz więcej w osobnych artykułach: Jądro operatora całkowego, Równanie całkowe Fredholma.Niech X = L2(a,b), tzn. X będzie przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Lebesgue'a na przedziale (a,b) oraz niech K(s,t) będzie będzie funkcją całkowalną z kwadratem w zbiorze
.
Można wykazać, że odwzorowanie , dane wzorem
jest operatorem liniowym i ciągłym, przy czym, gdy 
, to T jest operatorem samosprzężonym, a zatem ma wyłącznie rzeczywiste wartości własne.
[edytuj] Bibliografia
- Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
[edytuj] Zobacz też
