Twierdzenie Abela-Ruffiniego

Z Wikipedii

Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki).

Mówiąc krótko, nie istnieją ogólne wzory na rozwiązania takiego równania.

Oczywiście, twierdzenie Abela-Ruffiniego nie stwierdza, że równanie stopnia wyższego niż 4 nie ma rozwiązań (każde równanie stopnia nieparzystego ma co najmniej jedno rozwiązanie będące liczbą rzeczywistą, a jeśli dopuścimy rozwiązania zespolone, ma ich tyle, ile wynosi stopień równania – zob. zasadnicze twierdzenie algebry), a jedynie, że nie ma ogólnej metody na dokładne wyrażenie rozwiązań.

Na przykład rozwiązania równania kwadratowego postaci ax² + bx + c = 0 wyrażają się wzorami:

$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$

Analogiczne, choć bardziej złożone, wzory można podać dla równania stopnia 3 i stopnia 4. Twierdzenie Abela-Ruffiniego mówi, że dla równań stopnia wyższego niż 4 wzory takie nie istnieją.

Jest jasne, że w szczególnych przypadkach rozwiązania dają się znaleźć w postaci dokładnej (przykładem jest równanie x⁵ - x⁴ - x + 1 = 0), natomiast w sytuacji ogólnej można obliczać je z dowolną dokładnością za pomocą metod przybliżonych, na przykład metody Newtona-Raphsona.

Przykładem równania stopnia 5, które nie może być rozwiązane w opisany w twierdzeniu sposób (tj. jego pierwiastki nie wyrażają się za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych i pierwiastkowania) jest równanie x⁵ - x + 1 = 0.

Dokładne kryterium, które pozwala stwierdzić, kiedy pierwiastki równania wyrażają się w skończonej postaci przez pierwiastniki podaje teoria Galois: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Galois tego równania jest rozwiązalna. Ponieważ grupy równań stopnia 2, 3 i 4 zawsze są rozwiązalne, teoria Galois mówi, że odpowiednie typy równań zawsze mają rozwiązania przez pierwiastniki.

[edytuj] Historia

Problem rozwiązalności takich równań badany był od końca XVI wieku, gdy matematycy włoscy podali wzory na rozwiązania równań stopni 3 i 4. Zmagali się z nim Bézout, Euler i Lagrange, jednak dopiero Paolo Ruffini wpadł na pomysł, by udowodnić, że w przypadku równań stopnia wyższego niż 4 odpowiednie wzory nie istnieją. Opublikowany przez niego w roku 1799 dowód twierdzenia (Ruffini podał pięć dowodów) zawierał pewne nieścisłości i został zignorowany przez społeczność matematyków – być może przyczyną był fakt, że Ruffini był także lekarzem. W pełni zadowalający dowód opublikował w roku 1824 Niels Henrik Abel, został on następnie uproszczony w roku 1845 przez Pierre Wantzela. Jednak znacznie głębsza analiza problemu zawarta jest w pracach Ewarysta Galois pod postacią teorii Galois.