Pierwiastek arytmetyczny

Z Wikipedii

Pierwiastek arytmetyczny (symbol: $\sqrt[n]{x}$ , dla pierwiastka kwadratowego stopień $n = 2$ standarodowo pomijany: $\sqrt{x}$ ) – działanie odwrotne do potęgowania.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Uogólnienia
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $n\;$ będzie liczbą naturalną, zaś $x \geqslant 0$ będzie liczbą rzeczywistą. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n\;$ z $x\;$ nazywamy nieujemną liczbę $y \in \mathbb R$ , spełniająca równość $y^n = x\;$ .

Pierwiastki niskich stopni otrzymały nazwy zwyczajowe pochodzące od odpowiednich nazw zwyczajowych potęg, jeżeli

$n = 2\;$ , to pierwiastek nazywamy kwadratowym;
$n = 3\;$ , to pierwiastek nazywamy sześciennym.

Pierwiastek oznaczamy symbolem $\sqrt[n]x$ lub $x^\frac{1}{n}$ . W symbolu pierwiastka kwadratowego zwykle nie umieszcza się stopnia: $\sqrt x$ . Jeżeli $n = 1\;$ , to pierwiastek jest równy pierwiastkowanej liczbie.

[edytuj] Własności

Jeżeli $x, y \geqslant 0,\; n, m \in \mathbb N_{+}$ , to

$\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]x \sqrt[n]y$ ,
$\sqrt[n]\tfrac{x}{y} = {\sqrt[n]x \over \sqrt[n]y}$ dla $y \ne 0$ ,
$\sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n]x\right)^m = \left(x^\frac{1}{n}\right)^m = x^\tfrac{m}{n}$ ,
$\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}}$ ,
$|\sqrt x - \sqrt y| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}}$ .

[edytuj] Uogólnienia

Można rozszerzyć definicję pierwiastka arytmetycznego dla nieparzystych stopni przyjmując, że dla $x < 0$ wartość pierwiastka jest ujemna, tzn. $\sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{|x|}$ .

Wówczas dla dowolnego $x \in \mathbb R$

$\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x & \mbox{dla } n \mbox{ nieparzystych,} \\ |x| & \mbox{dla } n \mbox{ parzystych.} \end{cases}$

Wyżej wspomniane własności pozwalają na uogólnienie definicji potęgi liczby nieujemnej tak, by wykładnik był liczbą wymierną (zob. artykuł potęga). Poprzez przejścia graniczne możliwe jest dalsze uogólnienie na wykładniki rzeczywiste.

Uogólnieniem pojęcia pierwiastka arytmetycznego na liczby zespolone jest pierwiastek algebraiczny.

[edytuj] Zobacz też

We provide Linux to the World

Pierwiastek arytmetyczny

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach