Zasadnicze twierdzenie algebry

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Spis treści

1 Twierdzenie
- 1.1 Uwaga
2 Historia
- 2.1 Nazwa
3 Dowód
4 Dowód
5 Zobacz też

Zasadnicze twierdzenie algebry – twierdzenie algebry określające liczbę pierwiastków wielomianu w ciele liczb zespolonych.

[edytuj] Twierdzenie

Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony.

Jest to równoważne stwierdzeniu, że dowolny wielomian stopnia $n$ nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie $n$ pierwiastków zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Innym równoważnym twierdzeniem jest:

Dowolny wielomian zespolony stopnia $n$ można przedstawić jako iloczyn $A\cdot (z-z_1) \cdot (z-z_2)\dots (z-z_n).$

[edytuj] Uwaga

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia $n$ może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej $n$ . Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z tego, że dla dowolnego wielomianu o współczynnikach rzeczywistych sprzężenie pierwiastka jest również pierwiastkiem, więc liczba pierwiastków nierzeczywistych jest parzysta).

[edytuj] Historia

Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowódów tego twierdzenia. Przed Gaussem dowód podał również d'Alembert, zawierał on jednak nieścisłości i dlatego nie został powszechnie uznany.

[edytuj] Nazwa

Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.

Kwestia ta została ostatecznie rozwiązana na początku XIX wieku dzięki pracom Evariste'a Galois i Nielsa Abela. Niezależnie od siebie udowodnili oni, że równanie algebraiczne stopnia wyższego niż $4$ nie może zostać rozwiązane wyłącznie za pomocą operacji algebraicznych oraz pierwiastkowania.

[edytuj] Dowód

Wykażemy, że jeżeli $v \in \mathbb C[x]$ , to istnieje takie $x_0 \in \mathbb C$ , że $|v\,(x_0)|=0$ , gdzie $v=a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n,\; a_0 \ne 0,\; a_n \ne 0,\; n \ge 1$

Przyjmijmy bez dowodu następujące dwa proste fakty z analizy zespolonej:

funkcje wielomianowe są ciągłe w $\mathbb C$ (jako złożenie funkcji ciągłych),
jeżeli $f\colon \mathbb C \to \mathbb R$ jest ciągła w $\mathbb C$ i $A \subset \mathbb C$ i $A$ jest zwarty to $f$ przyjmuje w tym zbiorze ekstrema (por. twierdzenie Bolzano-Weierstrassa).

[edytuj] Lemat 1

$v \in \mathbb C[x],\,v \neq 0 \implies \exist_{r>0}\;\forall_{x \in \mathbb C}\; |x|>r \implies |v(x)|>|v(0)|=|a_0|$

[edytuj] Dowód

$|v(x)| = |x|^n |a_n + a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n| = |x|^n|a_n + w(x)|$ , gdzie $w = a_{n-1}y + \dots + a_0y^n,\,w \in \mathbb C[y]$

Funkcja wielomianowa $w$ jest ciągła oraz $w(0) = 0 \implies \exist_{R>0}\; |y|<R \implies |w(y)| < \frac{|a_n|}{2}$

A więc jeśli jest $\tfrac{1}{|y|} > \tfrac{1}{R} \implies \left|w\left(\tfrac{1}{y}\right)\right|>\tfrac{|a_n|}{2}$

Kładąc $y = \tfrac{1}{x}$ dostajemy $|x|>\tfrac{1}{R} \implies |w(x)|>\frac{|a_n|}{2}$

A zatem mamy $|v(x)| = |x|^n|a_n + a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n| \ge |x|^n(|a_n| - |a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n|) \ge \frac{|a_n|}{2}|x|^n$ i teraz, aby zachodziło $\frac{|a_n|}{2}|x|^n > |a_0|$ , musi być $|x| > \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}$ czyli rzeczywiście istnieje takie $r$ , że teza lematu jest spełniona, mianowicie $r = max\left\{\frac{1}{R}, \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}\right\}$ .

[edytuj] Lemat Cauchy'ego

$\forall_{v \in \mathbb C[x]}\; v(0) \ne 0$ istnieje

r > 0

takie, że minimum

| v (x) |

jest przyjęte w $\{x\colon |x| \le r \}.$

[edytuj] Dowód

Niech $r = max\left\{\frac{1}{R}, \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}\right\}$ wówczas z lematu 1 wiemy, że poza kołem $\{x\colon |x| \le r \}$ jest $| v (x) | > | a 0 |$ , natomiast w związku z tym, że zbiór $\{x\colon |x| \le r \}$ jest zbiorem zwartym, to funkcja $| v (x) |$ przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego $x_0 \in \{x\colon |x| \le r \}$ i dla tego $x 0$ zachodzi $|v(x_0)| \le |a_0|$ zatem $x 0$ jest również minimum globalnym funkcji $| v (x) |$ .

[edytuj] Lemat 2

Niech $k \in \mathbb N,\; p \in \mathbb C[x],\; p(0) \ne 0$ , wtedy $\forall_{a \in \mathbb C\setminus\{0\}}\; \exist_{b \in \mathbb C}\; \left|a + b^kp(b)\right|<|a|$ .

[edytuj] Dowód

Z ciągłości funkcji wielomianowej $p$ :

$\exist_{\delta > 0}\; |x|<\delta \implies \left|p(x) - p(0)\right| < \tfrac{|p(0)|}{2}$

$\left|a + x^kp(x)\right| \le \left|a + x^kp(0)\right| + |x|^k\left|p(x) - p(0)\right| \le \left|a + x^kp(0)\right| +\frac{|x|^k\left|p(0)\right|}{2}$

Niech $b \in \mathbb C$ , wówczas

p (0) b k = - t a

dla

0 < t < 1

Dla każdego $t > 0$ istnieje $b$ , które spełnia powyższą równość.

$\left|a + p(0)b^k\right| = |a - ta| = (1-t)|a|$

$\frac{|p(0)||b|^k}{2} = \frac{t|a|}{2}$

Jeżeli $b$ jest takie, że $| b | < δ$ to:

$\left|a + b^kp(b)\right| \le (1-t)|a| + \tfrac{t|a|}{2} = (1 - \tfrac{t}{2})|a| < |a|$ i twierdzenie zachodzi, ale żeby było

| b | < δ

, to musi być

| b | k < δ k

, czyli:

$|p(0)||b|^k = t|a| < |p(0)||\delta|^k \implies t < \frac{|p(0)|\delta^k}{|a|}$ .

[edytuj] Lemat d'Alemberta-Arganda

Jeżeli $v \in \mathbb C[x],\; \deg v \ge 1,\; v(0) = a_0 \ne 0$ oraz mamy takie $x 0$ , że $| v (x 0) | > 0$ , to istnieje $y_0 \in \mathbb C$ takie, że $| v (y 0) | < | v (x 0) |$ .

[edytuj] Dowód

$v(x+x_0) = a_0 + a_1(x+x_0) + \dots + a_n(x+x_0)^n = a_0 + a_1x_0 + \dots + a_nx_0^n + x^kw(x) = v(x_0) + x^kw(x)$ , gdzie $w(0) \ne 0$

Z lematu 2 wiemy, że $\exist_{b \in \mathbb C}\; \left|v(x_0) + b^kw(b)\right| < \left|v(x_0)\right|$ , czyli $\left|v(x_0 + b)\right| < \left|v(x_0)\right|$ zatem przyjmując $y 0 = b + x 0$ otrzymujemy tezę.

[edytuj] Dowód

Z lematu Cauchy'ego i d'Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że $v \in \mathbb C[x]$ i nie istnieje takie $x \in \mathbb C$ , że $\left|v(x)\right|=0$ , wówczas z lematu Cauchy'ego wiemy, że istnieje taki promień $r$ , że minimum globalne $\left|v(x)\right|$ jest przyjęte w kole $\{x\colon |x| \le r \}$ dla pewnego $x 0$ , ale założyliśmy, że $| v (x) |$ jest zawsze większe od $0$ , a wtedy z lematu d'Alemberta-Arganda wynika, że istnieje $y_0 \in \mathbb C$ takie, że $\left|v(y_0)\right| < \left|v(x_0)\right|$ , co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie $x 0$ funkcja $\left|v(x)\right|$ przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być $| v (x 0) | = 0$ .