Twierdzenie Talesa

Z Wikipedii

Twierdzenie Talesa – jedno z najważniejszych twierdzeń całej geometrii euklidesowej. Tradycja przypisuje jego sformułowanie Talesowi z Miletu.

Spis treści

1 Treść
2 Dowód
3 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
4 Zastosowania
- 4.1 Podział odcinka w danym stosunku
5 Zobacz też

[edytuj] Treść

Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Dla powyższych rysunków zachodzi: $\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|DB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}$

lub po przekształceniu: $\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|}$ oraz $\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}$ a także $\frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}$ .

Często spotykaną nieścisłością jest takie formułowanie twierdzenia Talesa: $\frac{|AD|}{|DE|}=\frac{|AB|}{|BC|}$ , ta równość jest oczywiście prawdziwa, ale wynika z podobieństwa trójkątów ADE i ABC a nie z samego twierdzenia Talesa.

[edytuj] Dowód

Najstarszy zachowany dowód twierdzenia Talesa zamieszczony jest w VI. księdze Elementów Euklidesa.

Dowód oparty jest na dwóch lematach:

Lemat I. Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.
Lemat II. Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości, to ich pola są równe.

1. Trójkąty CED i EAD mają wspólną wysokość h', więc na mocy lematu I.:

$\frac{|CE|}{|EA|}=\frac{S_{CED}}{S_{EAD}}$ .

2. Trójkąty CED i BDE mają wspólną podstawę ED i równe wysokości h, więc na mocy lematu II.:

S C E D = S B D E

, stąd $\frac{S_{CED}}{S_{EAD}}=\frac{S_{BDE}}{S_{EAD}}$ .

3. Trójkąty BDE i EAD ma wspólną wysokość, więc na mocy lematu I.:

$\frac{S_{BDE}}{S_{EAD}}=\frac{|BD|}{|DA|}$ .

Łącząc w jeden zapis otrzymujemy:

$\frac{|CE|}{|EA|}=\frac{S_{CED}}{S_{EAD}}=\frac{S_{BDE}}{S_{EAD}}=\frac{|BD|}{|DA|}$ , czego należało dowieść.

[edytuj] Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli ramiona kąta przecięte są dwiema prostymi nie pokrywającymi się z tymi ramionami i zachodzi którykolwiek z warunków:

$\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|AB|}{|AC|}$

$\frac{|AE|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}$

gdzie:

A to wierzchołek kąta
Punkty przecięcia pierwszej prostej to B (z pierwszym ramieniem) i C (z drugim ramieniem)
Punkty przecięcia drugiej prostej to D (z pierwszym ramieniem) i E (z drugim ramieniem)

to proste są równoległe.
(Jeśli zachodzi jeden z tych warunków, to drugi również)

Uwaga! Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa nie jest w ogólności prawdziwe dla warunków:

$\frac{|DB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}$

(1)

$\frac{|AC|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|DB|}$

(2)

$\frac{|AE|}{|EC|}=\frac{|AD|}{|DB|}$

(3)

$\frac{|AD|}{|AE|}=\frac{|DB|}{|EC|}$

(4)

Warunki te są spełnione dla prostych równoległych (twierdzenie Talesa) ale nie tylko dla nich. Wystarczy wyjść od prostych równoległych i odbić punkt E symetrycznie względem punktu C, a równania (1), (2) i (4) pozostaną spełnione, choć proste nie będą już równoległe. Analogicznie, po odbiciu punktu C wzlędem E, spełnione będą równania (3) i (4).

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Podział odcinka w danym stosunku

Dane są dwa odcinki o długościach a i b. Dany odcinek AB podzielić w stosunku a:b.

Rzut oka na rysunek i twierdzenie Talesa pozwalają stwierdzić, że punkt P dzieli odcinek w wymaganym stosunku. Powyższa konstrukcja była podstawą greckiej arytmetyki – pozwalała mnożyć i dzielić odcinki, utożsamiane przez Greków z liczbami.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Geometria • Proporcje • Twierdzenia matematyczne

We provide Linux to the World

Twierdzenie Talesa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Treść

[edytuj] Dowód

[edytuj] Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Podział odcinka w danym stosunku

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach