Ułamek
Z Wikipedii
Ułamek – wyrażenie postaci , gdzie a, nazywane licznikiem, oraz b, nazywane mianownikiem, są dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi. Linię oddzielającą licznik od mianownika nazywa się kreską ułamkową.
Wartością ułamka jest wartość jego licznika podzielona przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku zakłada się, że jest różny tożsamościowo od zera. Iloraz jest nieokreślony, choć ma granicę równą nieskończoności. Granica w zależności wyboru kierunku może być dodatnia, ujemna lub nawet zespolona (zob. dzielenie przez zero).
Spis treści |
[edytuj] Liczby wymierne
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są liczby całkowite, wówczas wartością ułamka jest liczba wymierna.
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się właściwym, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jedności, a niewłaściwym, gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnich liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci liczby mieszanej, tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez znaku dodawania, np. staje się
[edytuj] Wyrażenia wymierne
Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są wielomianami, to nazywa się go wyrażeniem wymiernym; reprezentuje ono wówczas w naturalny sposób funkcję wymierną. Jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika, to można wykonać dzielenie wielomianowe i otrzymać, podobnie jak w przypadku dzielenia liczb, wynik jako sumę wielomianu oraz funkcji wymiernej.
[edytuj] Działania na ułamkach
Dla każdego ułamek jest równy . Operację zamiany na nazywamy rozszerzeniem ułamka, odwrotną zaś nazywa się skróceniem ułamka.
Mnożenie i dzielenie wykonuje się wg wzorów:
- ,
- .
Przedstawienie liczby k w postaci ułamka prowadzi do wzorów:
- ,
- .
Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
- .
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio sprowadzić je do wspólnego mianownika, co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
- .
Liczba bd może zawsze pełnić rolę wspólnego mianownika, jednak często warto jest poszukać mniejszych wartości, najmniejszą możliwą jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb b i d.
[edytuj] Ciało ułamków
Dla każdego pierścienia całkowitego P (zatem i struktur takich jak pierścień liczb całkowitych czy pierścień wielomianów o współczynnikach całkowitych) można zdefiniować ciało nazywane ciałem ułamków. Definiuje się je jako zbiór klas abstrakcji relacji równoważności określonej w iloczynie kartezjańskim w sposób
- .
W zbiorze tym wprowadza się również działania dodawania i mnożenia:
- [a,b] + [c,d] = [ad + bc,bd],
- .
Jak wspomniano wcześniej ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych.
[edytuj] Istotność założenia całkowitości pierścienia
Jeżeli pierścień przemienny ma dzielniki zera, to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli xy = 0 dla niezerowych , to
- ,
czyli
- [1,1]˜[0,1],
stąd zaś dla dowolnego
- ,
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa [0,1], a z definicji ciało ma przynajmniej dwa różne elementy.
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
[edytuj] Inne znaczenia
- Ułamek w potocznym znaczeniu to liczba wymierna nie będąca liczbą całkowitą;
- ułamek dziesiętny to alternatywny zapis liczby rzeczywistej w systemie dziesiętnym,
- ułamek łańcuchowy.
W stechiometrii:
- ułamek masowy (wagowy),
- ułamek molowy,
- ułamek objętościowy.