Działanie dwuargumentowe

Z Wikipedii

Artykuł wymaga poszerzenia.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się, czego brakuje i uzupełnij braki, jeśli to możliwe.

Działanie dwuargumentowe (binarne) to w matematyce funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru $X$ przypisuje określony element pewnego zbioru $Y$ .

Badaniem działań i ich ogólnych własności zajmuje się algebra ogólna.

Spis treści

1 Zapis
2 Działanie wewnętrzne
- 2.1 Własności działań wewnętrznych
- 2.2 Przykłady działań wewnętrznych
3 Działanie zewnętrzne
4 Zobacz też

[edytuj] Zapis

Ponieważ każda funkcja jest relacją, a więc do zapisu działania stosuje się sposoby zapisu relacyjnego. Dla funkcji (działania) $\diamondsuit$ są to notacje:

przedrostkowa (prefiksowa, notacja polska):

$\diamondsuit(x, y)$ ,

przyrostkowa (postfiksowa, odwrotna notacja polska):

$(x, y)\diamondsuit$ ,

wrostkowa (infiksowa):

$(x \;\diamondsuit\; y)$ .

Najczęściej stosowana ze względów historycznych i długiej tradycji jest notacja wrostkowa, naturalna dla wszelkich działań na liczbach. Przykładowo wyrażenie wrostkowe $2\cdot(4-1)+3$ , będzie miało następującą postać

prefiksową: $+\, \cdot\, 2\, -\, 4\; 1\; 3$ ,
postfiksową: $2\, 4\, 1\, -\, \cdot\, 3\, +$ .

Zauważmy, że zarówno w notacji polskiej jaki i odwrotnej notacji polskiej można pominąć nawiasy.

[edytuj] Działanie wewnętrzne

Działanie wewnętrzne to funkcja, która każdej parze uporządkowanej dwóch elementów danego zbioru $X$ przypisuje element tego zbioru:

$\heartsuit: X \times X \to X,\quad \forall_{x, y \in X}\; (x, y) \mapsto \heartsuit(x, y)$

[edytuj] Własności działań wewnętrznych

Rozważmy zbiór $S$ i określone na nim działanie dwuargumentowe $\diamondsuit$ . Jeżeli nie spełnia ono żadnych dodatkowych warunków, to zbiór $(S, \diamondsuit)$ nazywamy grupoidem.

Bardziej interesujące ze względu na własności są działania, które spełniają pewne dodatkowe warunki, mianowicie żąda się zwykle, by działanie w zbiorze $S$ było łączne. Sprawia to, iż wyrażenia typu $a \;\diamondsuit\; b \;\diamondsuit\; c \;\diamondsuit\; ...$ mają sens. Wtedy zbiór $(S, \diamondsuit)$ nazywamy półgrupą.

Czasem wymaga się, żeby działanie miało element neutralny. Oznacza to, że istnieje wtedy argument, który w wyniku działania daje drugi argument — jeżeli działanie jest łączne, to taką konstrukcję nazywamy monoidem.

Jeżeli działanie będzie dodatkowo przemienne, to ewentualna zamiana argumentów działania nie wpłynie na ostateczną jego wartość.

Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Działanie składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest $0$ (zero), elementem neutralnym mnożenia jest $1$ (jedynka). Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych.

[edytuj] Przykłady działań wewnętrznych

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie na liczbach rzeczywistych jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze liczb rzeczywistych w opisywanym tu znaczeniu: parze liczb rzeczywistych przypisujemy liczbę rzeczywistą – wynik działania. Dzielenie nie jest działaniem, gdyż nie jest określone dla par $(x,0)$ .
W zbiorze liczb naturalnych można określić działanie potęgowania: $x y$ , które parze liczb $(x, y)$ przypisuje odpowiednią potęgę: $\forall_{x, y \in \mathbb N}\;(x, y) \mapsto x^y$ .
Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze wektorów tej przestrzeni.
Operacja składania funkcji $\circ : S \times S \to S$ jest działaniem dwuargumentowym w zbiorze $S$ .

[edytuj] Działanie zewnętrzne

Jeżeli dane są dwa zbiory $A, B$ wówczas funkcję $\bullet: B \times A \to A$ , nazywa się działaniem zewnętrznym. Przykładem takiego działania jest iloczyn wektora przez skalar w przestrzeni liniowej.