Wielomiany Hermite'a

Z Wikipedii

Wielomiany Hermite'a - to wielomiany o współczynnikach rzeczywistych, będące rozwiązaniem równania rekurencyjnego

,

przy warunkach początkowych

H₀(x) = 1,

H₁(x) = 2x.

Wielomiany Hermite'a są między innymi wykorzystywane do opisu kwantowego oscylatora harmonicznego.

Spis treści 1 Równoważne definicje 2 Wykładnicza funkcja tworząca 3 Wykresy pierwszych czterech wielomianów 4 Własności wielomianów Hermite'a 5 Bibliografia 6 Zobacz też

[edytuj] Równoważne definicje

.

[edytuj] Wykładnicza funkcja tworząca

Wykładniczą funkcją tworzącą wielomianów Hermite'a jest

.

Innymi słowami - jeśli rozwiniemy

w szereg Maclaurina względem zmiennej , współczynnikiem przy będzie .

[edytuj] Wykresy pierwszych czterech wielomianów

[edytuj] Własności wielomianów Hermite'a

• H_n(x) jest wielomianem n-tego stopnia.
• 
• 
• ,

czyli dla n parzystego H_n(x) jest funkcją parzystą, a dla n nieparzystego - funkcją nieparzystą.

• ,

czyli wielomiany Hermite'a tworzą układ wielomianów ortogonalnych z funkcją wagową .

[edytuj] Bibliografia

• Leonard I. Schiff, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1977, s. 73.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• formuła trójczłonowa,
• wielomiany Czebyszewa,
• wielomiany Laguerre'a,
• wielomiany Legendre'a.