Potęga
Z Wikipedii
Potęga, potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. Zapisywana jest jako co oznacza -krotne mnożenie przez siebie, przy czym nazywamy podstawą potęgi a wykładnikiem potęgi. Na przykład:
Podstawą potęgi w tym przykładzie jest liczba 3 a wykładnikiem liczba 4. Zapis czytamy podniesione do potęgi lub krótko do potęgi .
Początkowo potęga zdefiniowana była tylko dla wykładników będących liczbami naturalnymi, stopniowo jednak rozszerzono definicję tak, by obejmowała także liczby ujemne, wymierne, rzeczywiste i zespolone.
Drugą potęgę nazywa się kwadratem a trzecią sześcianem. Określenia te zwykle stosuje się do liczb, ale równie dobrze można mówić o sześcianie macierzy czy kwadracie (kartezjańskim) zbioru. Pochodzą one z geometrii, gdyż pole kwadratu o boku wynosi , a objętość sześcianu o boku wynosi .
Spis treści |
[edytuj] Potęgowanie w analizie matematycznej
[edytuj] Liczby rzeczywiste
Elementarna definicja potęgowania liczb rzeczywistych składa się z kilku kroków:
- albo nie jest określone albo przyjmuje się . (czytaj niżej)
- jeśli jest równe zeru, a jest niezerowe, to bez jakichkolwiek kontrowersji.
- jeśli jest inną liczbą naturalną, wynikiem jest -krotne pomnożenie przez siebie, np. .
- jeśli jest ujemną liczbą całkowitą,
- jeśli jest nieujemne a jest liczbą wymierną i , wtedy (potęga jest zdefiniowana przez pierwiastek arytmetyczny)
- jeśli jest nieujemne a jest liczbą niewymierną, wtedy konstruujemy ciąg liczb wymiernych o granicy w i wtedy
[edytuj] Alternatywne definicje
Równoważną definicję potęgowania liczb dodatnich można uzyskać:
- Przez równanie funkcyjne: potęga to jedyna ciągła funkcja , że oraz ;
- Definiując funkcje i a następnie potęgę korzystając ze związku xy = eylnx. Możliwości określenia tych funkcji jest wiele, np. za pomocą szeregu potęgowego , całki oznaczonej lub też jednej funkcji jako funkcji odwrotnej do drugiej.
[edytuj] Liczby zespolone
Potęga w dziedzinie liczb zespolonych jest niejednoznaczna i miewa nieskończoną liczbę wartości.
Zachodzi:
W dziedzinie zespolonej lnx jest funkcją wielowartościową a różnica pomiędzy jego wartościami to , dla dowolnego całkowitego k.
Jeśli z będzie dowolnym wybranym logarytmem , to:
Zbiór wartości ciągu , czyli będzie skończony i będzie miał elementów dla (c i względnie pierwsze). Tylko wtedy potęga w dziedzinie zespolonej ma skończoną liczbę wartości.
Dla całkowitego wygodnie jest korzystać ze wzoru de Movire'a.
[edytuj] Kwaterniony
Potęgowanie dla kwaternionów można określić wzorem analogicznym dla liczb zespolonych:
[edytuj] Własności
Podstawowe własności potęgowania:
Równości te są spełnione gdy podstawy i wykładniki są liczbami rzeczywistymi lub ogólniej zespolonymi. Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym 00 i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie jej i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.
Podstawa | Wykładnik | Potęga |
---|---|---|
całkowita dodatnia | całkowity nieujemny | całkowita dodatnia |
całkowita | całkowity nieujemny | całkowita |
wymierna dodatnia | całkowity | wymierna dodatnia |
niewymierna dodatnia | rzeczywisty | rzeczywista dodatnia[1] |
algebraiczna | wymierny | algebraiczna |
algebraiczna różna od 0 i 1 | zespolony, który nie jest liczbą wymierną | przestępna[2] |
przestępna | wymierny różny od 0 | przestępna |
rzeczywista dodatnia | rzeczywisty | rzeczywista dodatnia |
rzeczywista ujemna | rzeczywisty | zespolona[3] |
zespolona | całkowity | zespolona (jednoznaczna) |
zespolona | wymierny | zespolona (skończenie wiele wartości) |
zespolona | zespolony nie będący liczbą wymierną | zespolona (nieskończenie wiele wartości) |
Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym; na przykład . Nie jest także działaniem łącznym, np. , ale .
[edytuj] Funkcje zawierające potęgę
Funkcje oraz , gdzie jest stałą, są funkcjami elementarnymi. Mają ważne znaczenie w matematyce i innych dziedzinach nauki. Funkcją odwrotną do wykładniczej jest funkcja logarytmiczna, a do potęgowej jest funkcja potęgowa (w przypadku gdy jest całkowite zwana także funkcją pierwiastkową), o odwrotnym wykładniku. Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika z nieprzemienności potęgowania. Dla liczb zespolonych logarytm i pierwiastek algebraiczny są działaniami wieloznacznymi.
Rozwiązaniem równania jest gdzie jest funkcją W Lamberta.
[edytuj] Potęgowanie w algebrze
Jeżeli dane jest działanie , które jest łączne to potęgę gdy jest naturalne definiuje się jako iloczyn . Jest to po prostu wielokrotne mnożenie.
Jeżeli działanie jest odwracalne wówczas można zdefiniować potęgowanie dla wykładników całkowitych:
- jest równe 1
- , gdzie jest odwrotnością .
Wynika stąd, że w dowolnej strukturze algebraicznej. Jednak przy definicji analitycznej przypadek ten traktowany jest inaczej.
Zwykle tę definicję stosuje się dla grup - czytaj więcej.
Tak określone potęgowanie ma następujące własności:
Jeżeli działanie jest przemienne to zachodzi także:
Związki te można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.
W ten sposób można określić np. działanie potęgowania dla macierzy lub zbiorów (czytaj niżej).
[edytuj] Potęga 00
Zdefiniowanie potęgi sprawia problemy. Z jednej strony można by ją przedstawić jako i rozszerzyć wartość na 1. Z drugiej strony natomiast dla dodatnich . Druga wersja jednak nie została przyjęta, gdyż funkcja nie ma większego znaczenia.
Natomiast za przyjęciem wartości istnieje dużo argumentów:
- Jeżeli traktujemy jako iloczyn zawierający 0 czynników, to jego wartością jest 1. Wartość iloczynu nie może zależeć od czynników, których nie ma.
- Liczba jest liczbą odwzorowań zbioru -elementowego w zbiór -elementowy. Jeżeli n = 0,m > 0 wówczas nie ma takich funkcji, gdyż nie można przyporządkować argumentom wartości ze zbioru pustego. Natomiast dla istnieje jedno takie odwzorowanie - funkcja pusta.
- Wielomiany w algebrze zapisuje się jako
-
- .
- Dla wartość wielomianu jest oczywiście równa . Aby tak było musi być
- Wzory takie jak dwumian Newtona: są możliwe do użycia dla , gdy .
- W matematyce spotyka się dzielniki zera - obiekty takie, że , ale . Z własności potęgowania otrzymamy wtedy
- Dla dowolnych rzeczywistych funkcji mających wartość 0 i analitycznych w , zachodzi , w szczególności .
- Dla każdej liczby nieujemnej istnieją takie funkcje , że i . Zatem argument na to, że jest nieodpowiedni, gdyż przez dobór funkcji analogicznie można przyjąć .
Często w analizie matematycznej tradycyjnie przyjmuje się, że jest symbolem nieoznaczonym. Natomiast w algebrze abstrakcyjnej jest zawsze równe 1.
Więcej na ten temat w zewnętrznym artykule.
[edytuj] Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych
Zapis , gdzie jest zbiorem a liczbą naturalną oznacza -krotny iloczyn kartezjański zbioru .
Zapis , gdzie i są zbiorami oznacza zbiór wszystkich funkcji o dziedzinie i przeciwdziedzinie . Zastępując zbiory ich mocami otrzymujemy definicje potęgowania liczb kardynalnych - zobacz arytmetyka liczb kardynalnych.
[edytuj] Potęgowanie macierzy
Potęgę można łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, po prostu przez wielokrotne mnożenie i odwracanie dla wykładników ujemnych.
Dla macierzy kwadratowych można utworzyć funkcję .
Szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.
[edytuj] Macierze diagonalne
Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć osobno wartość dla przekątnej: jeżeli
to
(Macierze 1x1 też podlegają tej regule.)
Jeżeli i jest diagonalna, to:
[edytuj] Macierze nilpotentne
Macierz jest nilpotentna gdy dla pewnej liczby . Wówczas można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:
(dalsze są równe macierzy zerowej)
[edytuj] Konwencje notacyjne
[edytuj] Zapis potęgowania przy braku możliwości użycia indeksu górnego
Normalnie potęgowanie zapisywane jest w ten sposób, że wykładnik potęgi umieszczony jest w indeksie górnym: . Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosowane są zapisy , lub . Pamiętać należy w takim wypadku, że potęgowanie obliczane jest od prawej strony:
W przypadku gdy podstawą potęgi jest liczba (podstawa logarytmu naturalnego) stosowany może być zapis .
[edytuj] Potęgowanie funkcji
Zapis w górnym indeksie przy funkcji może oznaczać potęgowanie wartości funkcji:
Często jednak, jeżeli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie zapis oznacza -krotne złożenie funkcji z samą sobą (-tą iterację funkcji). Na przykład:
W szczególności, oznacza funkcję odwrotną do funkcji .
W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której oznacza dla oraz
Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: .
Pamiętać należy, że zapis oznacza -tą pochodną funkcji.
[edytuj] Wielokrotne potęgowanie
Czasem rozważa się wielokrotne potęgowanie, oznaczanie dwiema strzałkami:
itd. Ogólnie:
Używając związku (który wynika z definicji działania), można zdefiniować gdy .
Potwierdza to intuicyjne rozumienie jako . Jednak dalszych wartości obliczyć nie możemy, gdyż nie jest określony .
Skoro nieokreślony jest także log11 (), powyższe wyprowadzenie nie skutkuje dla . Zatem jest symbolem nieoznaczonym. (Natomiast można przyjąć za równe 1)
Powtarzanie procesu wielokrotnego potęgowania z kolei prowadzi do funkcji Ackermanna.
[edytuj] Zastosowania
Potęgi liczby 2 są często spotykane w informatyce. Na przykład jest maksymalną możliwą liczbą stanów zmiennej składającej się z bitów. Często używa się przedrostków używanych normalnie dla liczby 10 (np. kilobajt to 1024 nie 1000 bajtów). Próby wprowadzenia przedrostków dwójkowych nie zostały przyjęte na szerszą skalę.
Potęgi liczby to wartości funkcji szeroko używanej w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.
Potęgi liczby 10 są stosowane w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych. Są stosowane np. w przedrostkach układu SI.
Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.
[edytuj] Programowanie
Oto pseudokod algorytmu obliczającego potęgę , gdzie jest liczbą całkowitą:
POTEGA
Ten algorytm używa rekursji ogonowej i może zostać zamieniony na iterację. Jego złożoność obliczeniowa wynosi .
Istnieje znacznie szybszy algorytm potęgowania używający systemu binarnego. Jego złożoność wynosi .
Oznaczenie potęgowania w niektórych językach programowania:
- x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
- x ^ y: BASIC, J, Matlab, Microsoft Excel, TeX (i większość jego rozszerzeń), większość systemów Computer Algebra System
- x ** y: Ada, Fortran, FoxPro, Perl, Python, Ruby, SAS
- x * y: APL
- Power(x, y): Microsoft Excel, Pascal
- pow(x, y): C, C++, PHP
- Math.pow(x, y): Java, JavaScript, Modula-3
- Math.Pow(x, y): C#
- (expt x y): Common Lisp, Scheme
Przypisy
- ↑ Może się okazać, że liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej daje wynik wymierny. Dowód:
Niech .- Jeśli A jest wymierne, to A jest szukaną liczbą.
- Jeśli A jest niewymierne, to jest wymierne i jest szukaną liczbą.
- ↑ twierdzenie Gelfonda-Schneidera
- ↑ Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania. Potęgę w ogólnym przypadku należy traktować jako . Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać , gdzie pierwiastek jest pierwiastkiem arytmetycznym. Obejmuje to także wykładniki całkowite. W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci 1 / (2n) można przyjąć: