Funkcja kwadratowa

Z Wikipedii

Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) – funkcja postaci gdzie

Spis treści 1 Definicja formalna 2 Wyróżnik 3 Pierwiastki 3.1 Równanie niezupełne 4 Postacie funkcji kwadratowej 5 Wykres 6 Zobacz też 7 Przypisy

[edytuj] Definicja formalna

Wielomian drugiego stopnia nad dowolnym pierścieniem R nazywamy funkcją kwadratową.

Jeśli f jest funkcją kwadratową, to liczbę s taką, że f(s) = 0 nazywamy miejscem zerowym funkcji f, natomiast każde rozwiązanie równania postaci f(x) = 0 nazywamy pierwiastkiem tego równania.

Najczęściej rozważamy funkcje których dziedziną i przeciwdziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, zwykle też zapisujemy je w postaci

, gdzie .

[edytuj] Wyróżnik

Wyróżnikiem funkcji kwadratowej nazywamy liczbę daną wzorem Δ = b² − 4ac.

Wyróżnik jest pomocny w wyznaczaniu liczby jak i samych pierwiastków równania kwadratowego ax² + bx + c = 0. Od tego miejsca będziemy rozważać tylko takie funkcje, których dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych^[1].

[edytuj] Pierwiastki

Równanie postaci ax² + bx + c = 0^[2] może nie mieć pierwiastków rzeczywistych, ponieważ ciało liczb rzeczywistych nie jest algebraicznie domknięte - np. równanie x² + 1 = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych. Dopuszczając rozwiązania zespolone, dowolne równanie stopnia drugiego ma zawsze dwa pierwiastki (może się zdarzyć, że równe sobie^[3])

W zależności od wyróżnika rzeczywistej funkcji kwadratowej ma ona:

• zero rzeczywistych miejsc zerowych, gdy Δ < 0 (Jednak równanie kwadratowe f(x) = 0 ma dwa różne sprzężone pierwiastki zespolone),
• jedno podwójne miejsce zerowe rzeczywiste dla Δ = 0,
• dwa różne rzeczywiste miejsca zerowe dla Δ > 0.

Wyrażają się one wzorami . W przypadku, gdy Δ = 0 jasnym jest, że jedyne miejsce zerowe dane jest wzorem .

[edytuj] Równanie niezupełne

Gdy równanie kwadratowe nie jest zupełne, miejsca zerowe wyrażają się wzorami:

• dla b = 0:
  • równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych dla ac > 0,
  • x₀ = 0 (pierwiastek dwukrotny) dla c = 0,
  • dla ac < 0;
• dla c = 0:
  • .

[edytuj] Postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może być przedstawiona w trzech równoważnych formach, z których jedna może być bardziej użyteczna przy odczytywaniu i badaniu konkretnej własności tej funkcji:

• postać wielomianowa lub ogólna f(x) = ax² + bx + c, przydatna jest przede wszystkim do badania własności wielomianowych funkcji;
• postać kanoniczna f(x) = a(x − p)² + q, gdzie , ułatwia kreślenie wykresu i określenie podstawowych własności funkcji na jego podstawie;
• postać iloczynowa
  • f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), gdzie są miejscami zerowymi, o ile Δ > 0,
  • f(x) = a(x − x₁)², jeżeli funkcja ma pierwiastek podwójny,

pozwala na bezpośrednie odczytanie miejsc zerowych funkcji.

Oczywiście przedstawienie funkcji kwadratowej w ostatniej formie jest niemożliwe, jeżeli funkcja nie posiada pierwiastków w liczbach rzeczywistych, z zastosowaniem liczb zespolonych jest to zawsze możliwe. Przy obliczaniu q w drugim wzorze warto pamiętać, że f(p) = q.

[edytuj] Wykres

W kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie euklidesowej funkcja kwadratowa wyznacza parabolę. Z postaci kanonicznej łatwo odczytać wierzchołek paraboli (p,q) będący zarazem ekstremum funkcji. Z kolei postać iloczynowa jest pomocna w znajdowaniu punktów przecięcia wykresu paraboli z osią OX układu.

Gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane "w górę" i ma ona minimum globalne, w przeciwnym wypadku są skierowane "w dół" i ma ona maksimum globalne.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• równanie kwadratowe,
• równanie dwukwadratowe,
• wzory Viète'a,
• funkcja liniowa.

Przypisy