Extensão algébrica
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Uma extensão algébrica 
de um corpo 
é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo 
, em todo elemento de F é algébrico em E, ou seja, todo elemento 
é raiz de um polinômio cujos coeficientes são elementos de E. Esta definição é amplamente utilizada nos estudos de polinômios, notavelmente para a teoria de Galois. Note que a imagem de um polinômio por homomorfismo será um polinômio de mesmo grau; seus coeficientes serão imagem dos coeficientes do polinômio inicial:
Em particular, se 
é raiz deste polinômio - sabendo-se que um homomorfismo leva o elemento neutro da soma de um corpo no elemento neutro da soma do outro - logo 
será raiz do polinômio 
.
[editar] Exemplos
O conjunto ![\mathbb{Q} [i] = \{ a+bi | a,b \in \mathbb{Q} \}\,\!](../../../math/6/4/6/646567ac586a2fc8d4f917ab24d5db01.png)
munido das aplicações usuais de soma e de multiplicação usuais dos números complexos é um corpo. A aplicação ![\phi : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} [i]\,\!](../../../math/4/0/b/40bb3191a29f9a5ae034820fd32b4baa.png)
é dada por 
. Assim, o corpo ![\mathbb{Q} [i]\,\!](../../../math/f/9/5/f95b7b41c78938748b7727f2d6516f5a.png)
é uma extensão algébrica de 
O conjunto dos números algébricos é uma extensão algébrica do conjuntos dos números racionais.
O corpo 
, formado pelos números reais da forma 
, sendo f e g polinômios com coeficientes inteiros, não é uma extensão algébrica de 
, porque π não é algébrico em .
[editar] Extensão algébrica finita
Uma extensão algébrica finita de um corpo é um corpo que é contra-domínio de um homomorfismo injetivo onde o espaço vetorial associado ao corpo 
é de dimensão finita.
[editar] Construção
Um dos teoremas mais poderosos da álgebra é aquele que diz, essencialmente, que todo polinômio tem uma raiz. A forma precisa deste teorema é:
- Seja E um corpo, p(x) um polinômio com coeficientes em E. Então existe uma extensão algébrica F de E tal que p(x) tem (pelo menos) uma raiz em F.
A forma de construir este corpo F, no caso de p(x) ser um polinômio irreducível, é construir o anel E[x] de polinômios, definir o sub-anel < p(x) > em E[x], usar a irreducibilidade de p(x) para provar que o anel quociente F = ![\frac {E[x]} { < p(x) > }](../../../math/a/0/2/a0251fd726357f8b53811f926564e380.png)
é um corpo e que a função φ(e) = e + < p(x) > é um homomorfismo injetivo, e provar que, em F, x + < p(x) > é uma raiz de p(x).
