Parábola

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Nota: Para outros significados de Parábola, ver Parábola (desambiguação).

Uma parábola

A parábola (do Grego: παραβολή) é uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica regular e um plano paralelo à linha geradora do cone. Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de diretriz).

Um caso particular surge quando o plano é tangente à supérfície cônica. Neste caso a interseção é uma parábola degenerada, consistindo de uma reta.

[editar] Definições e visão geral

Um gráfico mostrando as propriedade reflexivas,a diretriz (em verde), e as linhas conectando o foco e e diretriz à parábola (em azul)

[editar] Equações da geometria analítica

Em coordenadas cartesianas, uma parábola com um eixo paralelo ao eixo y com vértice (h, k), foco (h, k + p), e diretriz y = k - p, com p sendo a distância entre o vértice e o foco, possui a equação

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

ou, alternativamente

$(y - k) = \frac{1}{4p}(x-h)^2 \,$

De maneira geral, uma parábola é uma curva no plano cartesiano definida por uma equação irredutível da forma : $A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0$ tal que $B 2 = 4 A C$ , aonde todos os coeficientes são reais, onde A e/ou C é não nulo, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x, y) na parábola, existe. O fato da equação ser irredutível significa que ela não pode ser fatorada como um produto de dois fatores lineares.

[editar] Outras definições geométricas

Uma parábola também pode ser caracterizada com uma seção cônica com uma excentricidade igual a 1. Como uma consequência disso, todas as parábolas são similares. Uma parábola também pode ser obtida como o limite de uma sequência de elipses onde um foco é mantido fixo e o outro pode se mover para uma distância cada vez maior do foco em uma direção. Desta forma, uma parábola pode ser considerada uma elipse que possui um foco no infinito. A parábola é a transformada inversa de um cardióide.

Uma parábola possui um eixo único de simetria reflexiva, o qual passa através de seu foco e é perpendicular à diretriz. O ponto de interseção de seu eixo e de parábola é chamado de vértice. Se girarmos uma parábola através de seu eixo em um gráfico de três dimensões temos uma forma conhecida como o parabóide de revolução.

[editar] Equações

Considerando o vértice (h, k) e a distância p entre o vértice e o foco. Note que se o vértice estiver abaixo do foco, ou equivalentemente abaixo da diretriz, p é positivo, caso contrário p é negativo.

[editar] Cartesiana

[editar] Eixo vertical de simetria

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

$y = a(x-h)^2 + k \,$

$y = ax^2 + bx + c \,$

$\mbox{onde }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; \ \$

$h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = \frac{4ac - b^2}{4a}$ .

$x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \,$

[editar] Eixo horizontal de simetria

$(y - k)^2 = 4p(x - h) \,$

$x = a(y - k)^2 + h \,$

$x = ay^2 + by + c \,$

$\mbox{onde }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h; \ \$

$h = \frac{4ac - b^2}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}$ .

$x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \,$

[editar] Semi-reta e coordenadas polares

Em coordenadas polares, uma parábola com o foco na origem e topo no eixo x negativo é dada pela equação

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

onde l é a distância do foco à parábola, medida através de uma linha perpendicular ao eixo. Note que esta é o dobro da distância do foco ao vertex da parábola ou a distância perpendicular do foco à diretriz.

[editar] Forma em coordenadas gaussianas

A forma em coordenadas gaussianas é dada por: $(tan 2 φ,2tanφ)$ e possui a normal $(cosφ,sinφ)$ .

[editar] Aplicações práticas

Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e sistemas de vital importância para nossa sociedade. Dentre eles, podemos destacar:

[editar] Antenas parabólicas e Radares:

É comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos eletromagnéticos.

[editar] Faróis de veículos:

As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.

[editar] Lançamento de projéteis:

Ao lançar um objeto (mísseis, pedras, flechas, etc.), para que este possa atingir a maior distância horizontal, deverá descrever uma curva parabólica.

[editar] Ver também

[editar] Ligações externas

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../p/a/r/Par%C3%A1bola.html"

Categoria: Seções cônicas