Quádrica

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Em geometria analítica, uma quádrica é a solução de uma equação do segundo grau. Por exemplo, no plano, a elipse, a hipérbole e a parábola são quádricas.

[editar] Superfície Quadrática

[editar] Caso Geral

Numa visão informal, as Superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral for cortada por um plano, a curva de interseção será uma cônica.

[editar] Superfície Esférica

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo $P = (x,y,z) \in S\,$ e C = $(x_o,y_o,z_o)\,$ então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

$(x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 + (z - z_o)^2 = r^2\,$

Se aproximarmos um plano $\pi\,$ de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

$\pi \cap S = \{ Pt \}\,$

$\overline {C \ Pt } \perp \pi\,$

$d(C, \pi) = r\,$

Porém, se o plano $π$ tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que $d(C, \pi) < r\,$ .

[editar] Superfície Cilíndrica

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

[editar] Superfície Cônica

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

[editar] Superfície de Rotação

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.

r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.

Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).

S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.