Super elipse

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Uma super elipse para n = 4, a = b = 1 se aproxima a um quadrado arredondado.

A super elipse (ou curva de Lamé) é uma figura geométrica definida no sistema de coordenadas cartesianas como o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$

onde $n > 0$ e $a$ e $b$ são os raios do formato oval. O caso no qual $n = 2$ leva ao caso da elipse ordinária, incrementanto $n$ além de leva às hiperelipses, que cada vez mais se assemelham a retângulos, decrementando $n$ abaixo de 2 somos levados às hipoelipses as quais desenvolvem extremos pontiagudos nas direções $x$ e $y$ e cada vez mais se assemelham a cruzes.

[editar] Os efeitos de n

n = 3/2, a = b = 1 produz um formato que lembra um quadrado arredondado.

n = 1/2, a = b = 1 produz uma estrela de quatro pontas.

Quando n é um número racional com um numerador par e um numerador ímpar, então a super elipse é uma curva algébrica plana. Em particular, quando a e b são ambos iguais a 1 e n é um inteiro para, temos uma curva de Fermat da grau n. Neste caso ela é não-singular, mas em geral ela será singular. Se o numerador não for par, então a curva e composta de porsões de mesma curva algébrica em diferentes orientações.

Por exemplo, se x^4/3 + y^4/3=1, então a curve é uma curva algébrica de grau doze e gênero três, dada pela equação

(x 4 + y 4) 3 - 3(x 4 - 3 x 2 y 2 + y 4)(x 4 + 3 x 2 y 2 + y 4) + 3(x 4 + y 4) - 1 = 0.

$x\left(\theta\right) = \plusmn a\cos^\frac{2}{n} \theta,$

$y\left(\theta\right) = \plusmn b\sin^\frac{2}{n} \theta;$

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}.$

[editar] Generalização

Exemplo de uma super elipse generalizada com m ≠ n.

A super elipse é posteriormente generalizada através da fórmula:

$\left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; m, n > 0.$

[editar] História

Apesar de ser comumente creditado como seu inventor, o poeta e cientista dinamarquês Piet Hein (1905-1996) não descobriu a super elipse. A notação cartesiana geral da forma vem do matemático françês Gabriel Lamé (1795-1870) que generalizou a equação para a elipse.

Super ovo de latão por Piet Hein.

Entretanto, Piet Hein popularizou o uso da super elipse em arquitetura, planejamento urbano, e projeto de móveis, sendo ele o inventor do "super ovo" ou "super elipsóide" partindo da super elipse

$\left|\frac{x}{4}\right|^{2.5} + \left|\frac{y}{3}\right|^{2.5} = 1$

e rotacionando-a ao redor do eixo $x$ . Como um elipsóide regular, o super elipsóide pode se manter em pé em uma superfície plane.

Os urbanistas em Estocolmo, Suécia necissitavam de uma solução para uma modenização nas antiga cidade de Sergels Torg. A super elipse de Piet Hein proveu a solução prática e estética. Em 1969, negociadores em Paris da Guerra do Vietnã não concordaram com o formado da mesa de negociação. Piet Hein projetou uma mesa superelíptica especial que acomdou a todos. A super elipse foi utilizada com o formato do Estádio Olímpico Asteca [1], na Cidade do México.

Hermann Zapf e Donald Knuth fizeram uso extensivo da super elipses em tipografia, Zapf por razões estéticas e Knuth parcialmente por razões técnicas. Como as curvas de Bezier, as super elipser são mais fáceis de implementar com a aritmética inteira do que são os arcos circulares, então Knuth utilizou super elipses ao invés de arcos circulares em seu software de projeto de tipo Metafonte. Entretando, Zapf devia ter aprendido sobre super elipses muito antes de sua famosa colaboração com Knuth, visto que a fonte Melior de Zapf construida em 1950 possui curvas superelípticas e Knuth veio a se interessar em tipografia posteriormente depois. Muitas fontes afirmam que Zapf desenhava os formatos da Melior à mão sem conhecer o conceito matemático da super elipse, e somente posteriomente Piet Hein mostrou a Zapf que as curvas que ele utilizavam eram extremamente similares à construção matemática da super elipse, porém tal dado não é confirmado.

[editar] Ver também

Elipse
Elipsóide, a uma analogia de uma elipse em uma dimensão superior
Esferóide, o elipsóde obtido através da rotação de uma elipse ao redor de seu eixo maior ou menor
Astróide, um elipsóide particular (n = 2/3, a = b = 1)
Superquádricas

[editar] Ligações externas

Superellipse (MathWorld)
Lamé's Super Ellipse (Java-Applet)
Super Ellipsoid (Java-Applet)
Johan Gielis' and Bert Beirinckx' "Superformula".
Gardner, Martin: Piet Hein's Superellipse. - in Gardner, Martin: Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage, 1977, pp. 240-254.
Johan Gielis: Inventing the circle. The geometry of nature. - Antwerpen : Geniaal Press, 2003. - ISBN 9080775614