Teorema fundamental da aritmética
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O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.
Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides.
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[editar] Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética
[editar] Teorema
Seja 
um inteiro positivo. Então, existem primos positivos 
tais que 
, e essa decomposição é única.
Demonstração:
Existência de uma decomposição
Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.
Para 
existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro 
. Mostraremos que também vale para 
.
Se é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, admite um divisor positivo 
tal que 
. Isto é, 
, e temos também 
. Pela hipótese de indução, e 
podem ser escritos como produtos de primos, na forma 
, 
.
Substituindo, temos 
, e o resultado também vale para .
Unicidade da decomposição
Dado um inteiro , ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.
A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de .
Suponhamos que admita uma decomposição do tipo 
, onde 
é primo, e que vale
,
em que 
são primos positivos. Como 
divide 
, também divide , que é primo. Então, devemos ter 
. Cancelando, vem 
. Se 
, teríamos que o primo 
seria inversível, uma contradição. Assim, 
e, como já provamos que , o primeiro passo de indução está verificado.
Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento 
, e seja um inteiro com uma decomposição de comprimento 
. Se admitisse outra decomposição, temos
,
em que são primos positivos.
Como na primeira parte, divide 
e temos que divide 
, para algum 
(Lema de Euclides). Como é primo, devemos ter novamente que 
. Em particular, 
.
De forma análoga, pode-se obter que 
, para algum j. Logo, 
. De ambas as desigualdades, vem que . Finalmente, cancelando em , temos que
.
Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento 
, logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos 
, donde 
e 
, para 
. Como já provamos que , ambas as expressões de coincidem.
Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de , podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.
[editar] Teorema Fundamental da Aritmética
Seja um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos 
e inteiros positivos 
tais que 
. Além disso, essa decomposição é única.
Demonstração:
Temos que 
, conforme seja positivo ou negativo. Como 
é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos tais que
.
Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever
.
A unicidade segue diretamente do teorema anterior.
Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.
