Неприводимый многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. В кольце многочленов неприводимые многочлены играют роль сходную с простыми числами в кольце целых чисел.

[править] Общее определение

Неприводимый многочлен над полем $k$ ― многочлен $p (x 1, x 2,.., x n)$ от $n$ переменных над полем $k$ , являющийся простым элементом кольца $k [x 1, x 2,.., x n]$ , то есть непредставимый в виде произведения $p = q r$ , где $q$ и $r$ ― многочлены с коэффициентами из $k$ , отличные от константы. Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени, например любой многочлен вида

p (x 1, x 2,.., x n - 1) + x n

абсолютно неприводим.

[править] Свойства

Кольцо многочленов $k [x 1, x 2,.., x n]$ факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.
Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.
Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен $x n + p x + p$ , где $n > 1$ и $p$ ― некоторое простое число, неприводпм в силу критерия Эйзенштейна.
Предположим $A$ ― целозамкнутое кольцо с полем частных $k$ (например $A=\Z$ и $k=\mathbb Q$ ) и $p\in A[x]$ ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда $p = q r$ в $k [x]$ , причем $q$ и $r$ имеют старший коэффициент 1, то $q,r\in A[x]$ .
Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена σ(p) совпадает со степенью многочлена p и σ(p) неприводим над полем частных области B, то не существует разложения p = qr, где и отличны от константы.
- Например, многочлен $p$ со старшим коэффициентом $1$ прост в $\Z[x]$ (и, следовательно, неприводим в $\mathbb Q[x]$ ), если прост многочлен $σ(p)$ , полученный из $p$ редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

[править] Литература

Вандер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976;
Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1―2, М., 1963.

Категория: Многочлены

Неприводимый многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Общее определение

[править] Свойства

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск