Resumen álgebra

Resumen álgebra es el tema de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas , como grupos , anillos, campos, módulos, espacios vectoriales , y álgebras. La mayoría de los autores en la actualidad simplemente escriben álgebra en lugar de álgebra abstracta.

El término álgebra abstracta ahora se refiere al estudio de todas las estructuras algebraicas, a diferencia del álgebra elemental normalmente enseñado a los niños, que enseña las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que involucren reales y números complejos , y las incógnitas. Álgebra elemental se puede tomar como una introducción informal a las estructuras conocidas como la campo real y álgebra conmutativa.

Matemática contemporánea y la física matemática hacen un uso intensivo del álgebra abstracta; por ejemplo, la física teórica se basa en Álgebras de Lie. Las áreas temáticas tales como algebraica teoría de números, topología algebraica, y geometría algebraica aplicar métodos algebraicos a otras áreas de las matemáticas. Teoría de la representación, en términos generales, toma la "abstracta" de 'álgebra abstracta ", el estudio de la parte concreta de una determinada estructura; ver la teoría de modelos.

Dos temas matemáticos que estudian las propiedades de las estructuras algebraicas vistos en su conjunto son álgebra universal y la teoría de categorías. Estructuras algebraicas, junto con el asocian homomorfismos, forma categorías. Teoría de la categoría es un formalismo poderosa para el estudio y la comparación de las diferentes estructuras algebraicas.

Historia y ejemplos

Al igual que en otras partes de las matemáticas, problemas concretos y ejemplos han jugado un papel importante en la evolución del álgebra. Hasta finales del siglo XIX, muchos, quizá la mayoría, de estos problemas eran de alguna manera relacionada con la teoría de ecuaciones algebraicas. Entre los temas más importantes podemos mencionar:

• resolución de sistemas de ecuaciones lineales, lo que llevó a las matrices, determinantes y álgebra lineal .
• los intentos de encontrar fórmulas para soluciones de ecuaciones polinómicas generales de mayor grado que resultaron en el descubrimiento de grupos como manifestaciones abstractas de simetría ;
• y las investigaciones aritméticas de formas cuadráticas y de grado superior y ecuaciones diofánticas, sobre todo, para demostrar el último teorema de Fermat , que producen directamente las nociones de un anillo y ideal.

Numerosos libros de texto en álgebra abstracta comienzan con definiciones axiomáticas de diversas estructuras algebraicas y luego proceder a establecer sus propiedades, creando una falsa impresión de que de alguna manera en el álgebra axiomas habían llegado primero y luego sirvió como motivación y como base de un mayor estudio. El verdadero fin del desarrollo histórico era casi exactamente lo contrario. La mayoría de las teorías que ahora reconocemos como partes de álgebra empezaron como colecciones de hechos dispares de diferentes ramas de las matemáticas, adquirieron un tema común que sirvió como un núcleo en torno al cual se agruparon varios resultados, y finalmente se unificaron en una base de un conjunto común de conceptos. Un ejemplo arquetípico de esta evolución se puede ver en la teoría de grupos .

La teoría de grupos Temprana

Hubo varias discusiones en el desarrollo temprano de la teoría de grupos, en lenguaje moderno vagamente correspondiente a la teoría de números, la teoría de ecuaciones y geometría, de la que nos concentramos en los dos primeros.

Leonhard Euler considera operaciones algebraicas en los números de módulo un entero, la aritmética modular , lo que demuestra su generalización de Pequeño teorema de Fermat. Estas investigaciones fueron tomadas mucho más por Carl Friedrich Gauss , quien considera la estructura de los grupos multiplicativos de residuos mod n y establecieron muchas propiedades del cíclico y más general grupos abelianos que surgen de esta manera. En sus investigaciones de composición de formas cuadráticas binarias, Gauss indica explícitamente la ley asociativa para la composición de formas, pero al igual que Euler delante de él, él parece haber estado más interesados en resultados concretos que en la teoría general. En 1870, Leopold Kronecker dio una definición de un grupo abeliano en el contexto de grupos de clase ideales de un campo de número, una generalización de largo alcance de la obra de Gauss. Parece que no empatar con el trabajo previo en grupos, en particular, los grupos de permutaciones. En 1882 teniendo en cuenta la misma pregunta, Heinrich Weber dio cuenta de la conexión y dio una definición similar que involucró a la propiedad cancelación, pero omiten la existencia de la elemento inverso, que era suficiente en su contexto (grupos finitos).

Las permutaciones fueron estudiados por Joseph Lagrange en su documento 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des ecuaciones dedicadas a soluciones de ecuaciones algebraicas, en la que se introdujo Resolventes Lagrange. El objetivo de Lagrange era entender por qué ecuaciones de tercer y cuarto grado admiten fórmulas de soluciones, e identificó objetos permutaciones como clave de las raíces. Un paso importante novela tomada por Lagrange en este trabajo fue la visión abstracta de las raíces, es decir, como símbolos y no como números. Sin embargo, él no se consideraba composición de permutaciones. Casualmente, la primera edición de De Edward Waring Meditationes Algebraicae apareció en el mismo año, con una versión ampliada publicada en 1782. Waring demostró la teorema principal en funciones simétricas, y de una decisión especial de la relación entre las raíces de una ecuación de cuarto grado y su resolutivo cúbicos. Mémoire sur la résolution des ecuaciones de Alexandre Vandermonde (1771) desarrolló la teoría de funciones simétricas desde un ángulo ligeramente diferente, pero como Lagrange, con el objetivo de conocer la solvencia de ecuaciones algebraicas.

Kronecker afirmó en 1888 que el estudio del álgebra moderna comenzó con este primer documento de Vandermonde. Cauchy establece con toda claridad que Vandermonde tenía prioridad sobre Lagrange para esta extraordinaria idea que finalmente llevó al estudio de la teoría de grupos.

Paolo Ruffini fue la primera persona a desarrollar la teoría de la grupos de permutaciones, y al igual que sus predecesores, también en el contexto de la resolución de ecuaciones algebraicas. Su objetivo era establecer imposibilidad de solución algebraica de una ecuación algebraica general de grado mayor que cuatro. En el camino a esta meta se introdujo la noción del orden de un elemento de un grupo, conjugación, la descomposición ciclo de elementos de grupos de permutaciones y las nociones de primitivo y imprimitive y probó algunos teoremas importantes relacionados estos conceptos, tales como

si G es un subgrupo de S ₅ cuyo orden es divisible por 5, entonces G contiene un elemento de orden 5.

Tenga en cuenta, sin embargo, que él consiguió por sin formalizar el concepto de un grupo, o incluso de un grupo de la permutación. El siguiente paso fue tomada por el Evariste Galois en 1832, aunque su obra permaneció inédita hasta 1846, cuando consideró por primera vez lo que hoy llamamos la propiedad de cierre de un grupo de permutaciones, que expresó como

... Si en un grupo como uno tiene las sustituciones S y T entonces uno tiene la sustitución ST.

La teoría de los grupos de permutaciones recibió mayor desarrollo de largo alcance en las manos de Augustin Cauchy y Camille Jordan, tanto a través de la introducción de nuevos conceptos y, sobre todo, una gran cantidad de resultados sobre las clases especiales de grupos de permutaciones y hasta algunos teoremas generales. Entre otras cosas, Jordania define una noción de isomorfismo, aún en el contexto de los grupos de permutaciones y, de paso, fue él quien puso el grupo plazo en el uso de ancho.

La noción abstracta de un grupo apareció por primera vez en Trabajos de Arthur Cayley en 1854. Cayley se dieron cuenta de que un grupo no tiene por qué ser un grupo de la permutación (o incluso finito), y en su lugar pueden constar de matrices , cuyas propiedades algebraicas, como la multiplicación y inversas, investigó sistemáticamente en los años siguientes. Mucho más tarde Cayley volver a examinar la cuestión de si los grupos abstractos eran más general que los grupos de permutaciones, y establecer que, de hecho, cualquier grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.

Álgebra moderna

El final del 19 y principios del siglo 20 vio un tremendo cambio en la metodología de las matemáticas. Ya no satisfecho con el establecimiento de propiedades de los objetos concretos, los matemáticos empezaron a dirigir su atención a la teoría general. Por ejemplo, los resultados acerca de diversos grupos de permutaciones llegaron a ser vistos como ejemplos de teoremas generales que conciernen a una noción general de un grupo abstracto. Las cuestiones de estructura y clasificación de los diferentes objetos matemáticos llegaron a vanguardia. Estos procesos se estaban produciendo a lo largo de toda la matemática, pero llegó a ser especialmente pronunciadas en álgebra. Definición formal a través de operaciones primitivas y axiomas se propusieron para muchas estructuras algebraicas básicas, tales como grupos , anillos, y campos. Las investigaciones algebraicas de campos generales de Ernst Steinitz y de anillos conmutativos generales y luego por David Hilbert , Emil Artin y Emmy Noether , construyendo sobre la labor del Ernst Kummer, Leopold Kronecker y Richard Dedekind, que había considerado los ideales en los anillos conmutativos, y de Georg Frobenius y Issai Schur, relativo a la teoría de representaciones de grupos, llegó a definir el álgebra abstracta. Estos desarrollos del último cuarto del siglo 19 y el primer trimestre del siglo 20 fueron expuestos sistemáticamente en Álgebra Moderne Bartel van der Waerden, la monografía en dos volúmenes publicados en 1930-1931 que cambió para siempre el mundo matemático el significado de la palabra álgebra de la teoría de las ecuaciones de la teoría de las estructuras algebraicas.

Un ejemplo

Resumen álgebra facilita el estudio de las propiedades y los patrones que los conceptos matemáticos aparentemente dispares tienen en común. Por ejemplo, considere las distintas operaciones de composición de la función , f (g (x)), y de la multiplicación de matrices , AB. Estas dos operaciones tienen, de hecho, la misma estructura. Para ver esto, pensar en la multiplicación de dos matrices cuadradas, AB, por un vector de una columna, x. Esto define una función equivalente a la composición Ay con Bx: Ay = A (Bx) = (AB) x. Funciones en virtud de composición y matrices bajo la multiplicación son ejemplos de monoides. Un conjunto S y un operación binaria sobre S, denotado por concatenación, forman un monoide Si la operación asociados , (ab) c = a (bc), y si existe un e ∈ S, de tal manera que ae = EA = a.