Número ordinal

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Antecedentes

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Representación de los números ordinales hasta ^{ω ω.} Cada vuelta de la espiral representa un poder de ω

En la teoría de conjuntos , un número ordinal, o simplemente ordinal, es el tipo de orden de un conjunto bien ordenado. Ordinales son una extensión de los números naturales diferentes de números enteros y de los cardenales . Al igual que otros tipos de números, se pueden añadir los ordinales, se multiplicaron y exponentes. Los ordinales finitos (y los cardenales finitos) son los números naturales: 0, 1, 2, ..., ya que cualquiera de los dos ordenamientos totales de un conjunto finito son ordenar isomorfos. El ordinal menos infinito es ω que se identifica con el número cardinal $\ Aleph_0$ . Más allá de los ordinales embargo ω (el caso transfinito) establecer una distinción más fina que los cardenales en razón de su información de la orden. Mientras que sólo hay un cardinal infinito numerable, es decir, $\ Aleph_0$ en sí, hay muchos uncountably ordinales contable infinito, es decir, ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2, ω · 2 + 1, ..., ω ^2, ..., ω ^3, ..., ^ω ω, ..., ^ω ω ω, ..., ε _0, .... Aquí adición y multiplicación no son conmutativos: en particular, 1 + ω ω es más que ω + 1, mientras que 2 · ω ω es más que ω · 2. El conjunto de todos los ordinales contables constituye el primer ordinal incontable ω _1, que se identifica con el cardenal $\ Aleph_1$ (Próximo cardenal después $\ Aleph_0$ ). Cardenales bien ordenadas están identificados con su ordinales iniciales, es decir, el ordinal más pequeño de los que cardinalidad. La cardinalidad de un ordinal define una asociación muchos a uno de los ordinales a cardenales.

Ordinales fueron introducidos por Georg Cantor en 1897 para dar cabida a secuencias infinitas y clasificar conjuntos con ciertos tipos de ordenar estructuras en ellos.

En general, cada α ordinal es el tipo de orden del conjunto de ordinales estrictamente menor que α sí mismo. Esta propiedad permite que cada ordinal a ser representado como el conjunto de todos los ordinales menos que él. Ordinales pueden ser categorizados como: cero, ordinales sucesores, y ordinales límite (de varios cofinalities). Dada una clase de ordinales, se puede identificar el miembro α-ésimo de esa clase, es decir, un índice de lata (COUNT) ellos. Una clase es cerrado y acotado si su función de indexación es continua y nunca se detiene. La Forma normal Cantor representa de forma única cada ordinal como una suma finita de potencias ordinales de ω. Sin embargo, esto no puede ser la base de una notación ordinal universal, debido a dichas representaciones autorreferenciales como $\ Epsilon_0 = \ omega ^ {\ epsilon_0}$ . Ordinales más y más grandes se pueden definir, pero se vuelven más y más difícil de describir. Cualquier número ordinal se puede hacer en una espacio topológico dotándola de la ordenar topología; Esta topología es discreta si y sólo si el ordinal es un cardenal contable, es decir, en la mayoría ω. Un subconjunto de ω + 1 está abierto en la topología de la orden si y sólo si bien es cofinite o que no contiene ω como un elemento.

Ordinales extienden los números naturales

Un número natural (que, en este contexto, incluye el número 0 ) se puede utilizar para dos propósitos: para describir el tamaño de una establecer, o para describir la posición de un elemento en una secuencia. Cuando restringido a conjuntos finitos estos dos conceptos coinciden; sólo hay una manera de poner un conjunto finito en una secuencia lineal, hasta el isomorfismo. Cuando se trata de conjuntos infinitos hay que distinguir entre la noción de tamaño, lo que conduce a números cardinales , y la noción de posición, que se generaliza por los números ordinales se describen aquí. Esto es porque, mientras que cualquier conjunto tiene sólo un tamaño (su cardinalidad), hay muchos no isomorfos así-ordenamientos de cualquier conjunto infinito, como se explica a continuación.

Considerando que el concepto de número cardinal está asociada a un conjunto sin una estructura especial en él, los ordinales están íntimamente vinculados con el tipo especial de conjuntos que se llaman bien ordenadas (tan íntimamente ligados, de hecho, que algunos matemáticos no hacen ninguna distinción entre ambos conceptos). Un conjunto bien ordenado es un conjunto totalmente ordenado (dados dos elementos uno define una más pequeña y una más grande de una manera coherente) en el que no hay sucesión decreciente infinito (sin embargo, puede haber secuencias crecientes infinitos); equivalentemente, cada subconjunto no vacío del conjunto tiene un elemento mínimo. Ordinales se pueden utilizar para etiquetar los elementos de cualquier conjunto bien ordenado determinado (el elemento más pequeño se etiqueta 0, el que después de que el 1, el próximo 2 ", y así sucesivamente") y para medir la "longitud" de la totalidad fijado por el menos ordinal que no es una etiqueta para un elemento del conjunto. Este "longitud" se llama el tipo de orden de la serie.

Cualquier ordinal se define por el conjunto de ordinales que lo preceden: de hecho, la definición más común de ordinales identifica cada ordinal como el conjunto de ordinales que lo preceden. Por ejemplo, el ordinal 42 es el tipo de orden de los ordinales menos de la misma, es decir, los ordinales de 0 (el más pequeño de todos los ordinales) a 41 (el predecesor inmediato de 42), y por lo general se identifica como el conjunto {0 , 1,2, ..., 41}. A la inversa, cualquier conjunto de ordinales que es hacia abajo cerrado lo que significa que cualquier ordinal menos de un ordinal en el conjunto es también en el set-es (o puede ser identificado con) un ordinal.

Hasta ahora hemos mencionado sólo ordinales finitos, que son los números naturales. Pero las hay infinitas, así: el ordinal infinito más pequeño es ω, que es el tipo de orden de los números naturales (ordinales finitos) y que incluso pueden ser identificados con el conjunto de los números naturales (de hecho, el conjunto de los números naturales es así -ordered-como es cualquier conjunto de ordinales y ya que se cierra a la baja que se puede identificar con el ordinal asociado a ella, que es exactamente cómo definimos ω).

Una representación gráfica "cerilla" del ω² ordinal. Cada barra corresponde a un ordinal de la forma ω · m + n, donde m y n son números naturales.

Tal vez una intuición más clara de los ordinales puede formarse mediante el examen de un primer algunos de ellos: como se mencionó anteriormente, empiezan con los números naturales, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Después de todos los números naturales conduce hacia el primer ordinal infinito , ω, y después de que llegado ω + 1, + 2 ω, ω + 3, y así sucesivamente. (Exactamente lo que significa adición se definirán más adelante:. Sólo considerarlos como nombres) Después de todos estos vienen ω · 2 (que es ω + ω), ω · 2 + 1, ω · 2 + 2, y así sucesivamente, entonces ω · 3, y más tarde ω · 4. Ahora el conjunto de ordinales que formamos esta manera (la ω · m + n, donde m y n son números naturales) debe tener en sí un ordinal asociado a ella: y que es ω ^2. Más adelante, habrá ω ^3, entonces ω ^4, y así sucesivamente, y ^ω ω, ω entonces ^ω², y mucho más tarde en ε ₀ ( épsilon nada) (por poner algunos ejemplos de relativamente pequeño-contable-ordinales). Nosotros podemos seguir de esta manera indefinidamente el momento ("indefinidamente lejos" es exactamente lo que los ordinales son buenos: básicamente, cada vez que uno dice ", y así sucesivamente" al enumerar los ordinales, se define un ordinal más grande). El ordinal incontable más pequeño es el conjunto de todos los ordinales contables, expresado como ω _1.

Definiciones

Conjuntos bien ordenados

La conjunto bien ordenado es un conjunto ordenado en el que cada subconjunto no vacío tiene un elemento menos importante: esto es equivalente (al menos en la presencia de la axioma de elección dependiente) simplemente diciendo que el conjunto está totalmente ordenada y no hay secuencia decreciente infinita, algo que es quizás más fácil de visualizar. En la práctica, la importancia del buen orden se justifica por la posibilidad de aplicar inducción transfinito, que dice, en esencia, que cualquier propiedad que pasa de los predecesores de un elemento a ese elemento en sí mismo debe ser verdad de todos los elementos (del conjunto bien ordenado dado). Si los estados de un cálculo (programa de computadora o juego) pueden ser bien ordenado de tal manera que cada paso es seguido por un paso "inferior", entonces usted puede estar seguro de que el cálculo terminará.

Ahora no queremos distinguir entre dos conjuntos bien ordenados si sólo difieren en el "etiquetado de sus elementos", o más formalmente: si podemos emparejarse los elementos del primer conjunto con los elementos de la segunda serie, tales que si un elemento es menor que otro en el primer set, el socio del primer elemento es menor que el socio del segundo elemento en el segundo set, y viceversa. Tal correspondencia uno-a-uno se llama isomorfismo orden y los dos conjuntos bien ordenados se dice que son para-isomorfo, o similar (obviamente se trata de una relación de equivalencia ). Siempre que existe un isomorfismo orden entre dos conjuntos bien ordenados, el isomorfismo orden es único: esto hace que sea bastante suficientes para considerar los juegos como esencialmente idénticas, y buscar un representante "canónica" del tipo de isomorfismo (clase). Esto es exactamente lo que los ordinales proporcionan, y también proporciona un etiquetado canónica de los elementos de cualquier conjunto bien ordenado.

Así que esencialmente queremos definir un ordinal como una clase de isomorfismo de conjuntos bien ordenados: es decir, como un clase de equivalencia para la relación de equivalencia de "ser para-isomorfo". Hay una dificultad técnica, no obstante, en el hecho de que la clase de equivalencia es demasiado grande para ser un conjunto en el usual Zermelo-Fraenkel (ZF) formalización de la teoría de conjuntos. Pero esto no es una seria dificultad. Diremos que el ordinal es la tipo de orden de cualquier conjunto de la clase.

Definición de un ordinal como una clase de equivalencia

La definición original de número ordinal, que se encuentra por ejemplo en Principia Mathematica, define el tipo de orden de un buen orden como el conjunto de todo bien-ordenamientos similares (orden-isomorfo) a la buena ordenación: en otras palabras, un número ordinal es realmente una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados. Esta definición debe ser abandonada en ZF y sistemas relacionados de la teoría axiomática de conjuntos porque estas clases de equivalencia son demasiado grandes para formar un conjunto. Sin embargo, esta definición todavía se puede utilizar en teoría de tipos y en la teoría de conjuntos de Quine Nuevas Fundaciones y sistemas relacionados (donde se ofrece una solución alternativa bastante sorprendente a la Burali-Forti paradoja del ordinal).

Definición Von Neumann de ordinales

En lugar de definir un ordinal como una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados, vamos a definirlo como un conjunto bien ordenado particular que (canónicamente) representa la clase. Por lo tanto, un número ordinal será un conjunto bien ordenada; y cada conjunto bien ordenado será objeto-isomorfo a exactamente un número ordinal.

La definición estándar, sugerida por John von Neumann , es: cada ordinal es el conjunto ordenado de todos los ordinales más pequeños. En símbolos, λ = [0, λ). Formalmente:

Un conjunto S es un ordinal si y sólo si S es estrictamente bien ordenado con respecto al conjunto de miembros y cada elemento de S es también un subconjunto de S.

Observe que los números naturales son ordinales por esta definición. Por ejemplo, 2 es un elemento de 4 = {0, 1, 2, 3}, y 2 es igual a {0, 1} y lo que es un subconjunto de {0, 1, 2, 3}.

Se puede demostrar por inducción transfinito que cada conjunto bien ordenado es para-isomorfo a exactamente uno de estos ordinales, es decir, hay un orden preservando función biyectiva entre ellos.

Además, los elementos de cada ordinal son propios ordinales. Siempre que tenga dos ordinales S y T, S es un elemento de T si y sólo si S es un subconjunto propio de T. Por otra parte, ya sea S es un elemento de T, o T es un elemento de S, o que son iguales. Así que cada conjunto de ordinales es totalmente ordenado. Además, está bien ordenado cada conjunto de ordinales. Esto generaliza el hecho de que está bien ordenado cada conjunto de números naturales.

En consecuencia, cada ordinal S es un conjunto que tiene como elementos precisamente los ordinales menores a S. Por ejemplo, cada conjunto de ordinales tiene una supremo, el ordinal obtiene tomando la unión de todos los ordinales en el conjunto. Existe esta unión sin importar el tamaño del conjunto, por el axioma de la unión).

La clase de todos los ordinales no es un conjunto. Si se tratara de un juego, se podría demostrar que era un ordinal y por lo tanto un miembro de sí mismo lo que contradice su estricto pedido por membresía. Este es el Paradoja de Burali-Forti. La clase de todos los ordinales se llama indistintamente "Ord", "ON", o "∞".

Un ordinal es finito si y sólo si el orden opuesto también está bien ordenada, que es el caso si y sólo si cada uno de sus subconjuntos tiene una máxima.

Otras definiciones

Hay otras formulaciones modernas de la definición de ordinal. Por ejemplo, suponiendo que el axioma de regularidad, los siguientes son equivalentes para un conjunto x:

x es un ordinal,
x es un conjunto transitivo, y la membresía es establecer tricotómica en x,
x es un conjunto transitivo totalmente ordenado por conjunto la inclusión,
x es un conjunto transitiva de conjuntos transitivos.

Estas definiciones no se pueden utilizar en no fundados teorías de conjuntos. En teorías de conjuntos con urelements, uno tiene que hacer aún más seguro de que la definición excluye urelements aparezcan en los ordinales.

Secuencia Transfinite

Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia de α-indexado de los elementos de X es una función de α a X. Este concepto, una secuencia o secuencia transfinita-ordinal indexado, es una generalización del concepto de una secuencia . Una secuencia ordinaria corresponde al caso α = ω.

Inducción transfinita

¿Qué es la inducción transfinita?

Inducción transfinita sostiene en cualquier conjunto bien ordenado, pero es tan importante en relación con los ordinales que valga la pena repetir aquí.

Cualquier propiedad que pasa a partir del conjunto de ordinales más pequeñas que un α ordinal α dado a sí mismo, es el caso de todos los ordinales.

Es decir, si P (α) está presente siempre que P (β) es cierto para todos β <α, entonces P (α) es cierto para todos α. O, más práctica: para probar una propiedad P para todos los ordinales α, se puede suponer que ya es conocido por todos los pequeños β <α.

Recursividad Transfinite

Inducción transfinita puede ser utilizado no sólo para probar cosas, sino también para definir ellos. Tal definición normalmente se dice que es por recursión transfinito - la prueba de que el resultado está bien definido utiliza la inducción transfinito. Sea F denota un (clase) función F que definirse en los ordinales. La idea ahora es que, en la definición de F (α) para un α ordinal no se especifica, se puede suponer que F (β) ya está definido para todo β <α y así dar una fórmula para F (α) en términos de estos F ( β). A continuación, sigue por inducción transfinita que existe una y sólo una función de la satisfacción de la fórmula de recurrencia hasta e incluyendo α.

He aquí un ejemplo de definición por recursión transfinito en los ordinales (más será dado después): definir la función F dejando F (α) será el más pequeño no ordinal en la clase {F (β) | β <α}, que se , la clase que consiste de todos los F (β) para β <α. Esta definición supone la F (β) conocido en el proceso de definición de F; esta aparente círculo vicioso es exactamente lo que la definición de permisos de recursividad transfinitos. De hecho, F (0) tiene sentido ya que no hay β ordinal <0, y la clase {F (β) | β <0} está vacía. Así que F (0) es igual a 0 (el ordinal más pequeño de todos). Ahora que F (0) es conocido, la definición se aplica a F (1) tiene sentido (es el ordinal más pequeño no en la clase singleton {F (0)} = {0}), y así sucesivamente (la y así sucesivamente es la inducción exactamente transfinito). Resulta que este ejemplo no es muy emocionante, ya que demostrablemente F (α) = α para todos los ordinales α, que se pueden mostrar, precisamente, por la inducción transfinito.

Sucesores y limitar los ordinales

Cualquier ordinal distinto de cero tiene el elemento mínimo, cero. Se puede o no puede tener un elemento de máxima. Por ejemplo, 42 tiene máximo 41 y ω + 6 tiene ω máximos + 5. Por otro lado, ω no tiene un máximo ya que no hay número natural más grande. Si un ordinal α tiene un máximo, entonces es la siguiente ordinal después α, y se llama ordinal sucesor, a saber, el sucesor de α, α escrito + 1. En la definición de von Neumann de ordinales, el sucesor de α es $\ Alpha \ taza \ {\ alpha \}$ ya que sus elementos son los de α y α sí mismo.

Un ordinal distinto de cero que no es un sucesor se llama limitar ordinal. Una justificación para este término es que un ordinal límite es de hecho el límite en un sentido topológico de todos los ordinales más pequeñas (bajo la topología orden).

Cuando $\ Langle \ alpha _ {\ ápice} | \ ápice <\ gamma \ rangle$ es una secuencia ordinal indexado, indizado por un γ límite y la secuencia va en aumento, es decir, $\ Alpha _ {\ ápice} <\ alpha _ {\ rho} \!$ siempre que $\ Ápice <\ rho, \!$ definimos su límite a ser el extremo superior del conjunto $\ {\ Alpha _ {\ ápice} | \ ápice <\ gamma \}, \!$ es decir, el ordinal más pequeño (siempre existe) mayor que cualquier término de la secuencia. En este sentido, un ordinal límite es el límite de todos los ordinales más pequeñas (indexadas por sí mismo). Dicho de manera más directa, es el supremo del conjunto de ordinales más pequeños.

Otra manera de definir un ordinal límite es decir que α es un ordinal límite si y sólo si:

Hay un ordinal menos de α y siempre que ζ es un ordinal menos de α, entonces existe una ξ ordinal tal que ζ <ξ <α.

Así, en la siguiente secuencia:

0, 1, 2, ..., ω, ω + 1

ω es un ordinal límite porque para cualquier ordinal (en este ejemplo, un número natural) podemos encontrar otro (número natural) ordinal más grande que él, pero todavía menos de ω.

Por lo tanto, cada ordinal es cero, o un sucesor (de un predecesor bien definida), o un límite. Esta distinción es importante, porque muchas definiciones por inducción transfinita confían en él. Muy a menudo, cuando se define una función F por inducción transfinita en todos los ordinales, se define F (0) y F (α + 1) suponiendo que F (α) se define, y luego, para el límite ordinales δ se define F (δ) como el límite de la F (β) para todo β <δ (ya sea en el sentido de los límites ordinales, como acabo de explicar, o por alguna otra noción de límite si F no tomar valores ordinales). Así, el paso interesante en la definición es el paso sucesor, no los ordinales límite. Tales funciones (especialmente para F no decreciente y tomando valores ordinales) se llaman continua. Veremos que ordinal suma, multiplicación y exponenciación son continuas como funciones de su segundo argumento.

Clases de indexación de los ordinales

Ya hemos mencionado que cualquier conjunto bien ordenado es (orden-isomorfo) similar a un número ordinal único $\ Alpha$ O, en otras palabras, que sus elementos pueden ser indexados en el aumento de la moda por los ordinales menos de $\ Alpha$ . Esto se aplica, en particular, a cualquier conjunto de ordinales: cualquier conjunto de ordinales se indexa naturalmente por los ordinales menos que algunos $\ Alpha$ . Lo mismo es, con una ligera modificación, para las clases de los ordinales (una colección de ordinales, posiblemente demasiado grande para formar un conjunto, definido por alguna propiedad): cualquier clase de ordinales pueden ser indexados por los ordinales (y, cuando la clase no tiene límites en la clase de todos los ordinales, esto lo pone en la clase-biyección con la clase de todos los ordinales). Así que podemos hablar libremente de la $\ Gamma$ elemento -ésima en la clase (con la convención de que el "0-th" es el más pequeño, el "1-th" es el inmediatamente inferior, y así sucesivamente). Formalmente, la definición es por inducción transfinite: el $\ Gamma$ elemento -ésimo de la clase se define (siempre que ya se ha definido para todos $\ Beta <\ gamma$ ), Como el elemento más pequeño mayor que la $\ Beta$ -ésimo elemento para todos $\ Beta <\ gamma$ .

Podemos aplicar esto, por ejemplo, a la clase de los ordinales límite: la $\ Gamma$ ordinal -th que es o bien un límite o cero es $\ Omega \ cdot \ gamma$ (Ver aritmética ordinal para la definición de la multiplicación de ordinales). Del mismo modo, podemos considerar ordinales aditivamente indescomponibles (es decir, un ordinal distinto de cero que no es la suma de dos ordinales estrictamente más pequeños): las $\ Gamma$ -th ordinal aditiva indescomponible se indexa como $\ Omega ^ \ gamma$ . La técnica de las clases de indexación de los ordinales a menudo es útil en el contexto de los puntos fijos: por ejemplo, la $\ Gamma$ ordinal -th $\ Alpha$ de tal manera que $\ Omega ^ \ alpha = \ alpha$ está escrito $\ Varepsilon_ \ gamma$ . Estos se llaman el " números épsilon ".

Conjuntos y clases ilimitadas cerrados

Una clase de ordinales se dice que es ilimitada, o cofinal, cuando se administra cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor de lo que (a continuación, la clase debe ser una clase adecuada, es decir, no puede ser un conjunto). Se dice que ser cerrado cuando el límite de una sucesión de ordinales en la clase está de nuevo en la clase: o, equivalentemente, cuando la función de indexación (de clase) $F$ es continua en el sentido de que, por $\ Delta$ un ordinal límite, $F (\ delta)$ (La $\ Delta$ ordinal-ésimo en la clase) es el límite de todo $F (\ gamma)$ para $\ Gamma <\ delta$ ; esto también es lo mismo que ser cerrado, en el sentido topológico, para la topología de orden (para evitar hablar de la topología en clases adecuadas, se puede exigir que la intersección de la clase con cualquier ordinal dado está cerrado por la topología de orden en que ordinal, esto es de nuevo equivalente).

De particular importancia son las clases de los ordinales que son cerrada y sin límites, a veces llamado clubes. Por ejemplo, la clase de todos los ordinales límite es cerrada y sin límites: esto se traduce el hecho de que siempre hay un ordinal límite mayor que un ordinal dado, y que un límite de ordinales límite es un ordinal límite (un hecho afortunados si la terminología es tener ningún sentido en absoluto!). La clase de ordinales aditiva indescomponibles, o la clase de $\ Varepsilon_ \ cdot$ ordinales, o la clase de los cardenales , están todas cerradas sin límites; el conjunto de regulares cardenales, sin embargo, es ilimitada, pero no cerrado, y cualquier conjunto finito de ordinales es cerrado pero no ilimitada.

Una clase es estacionaria si tiene una intersección no vacía con cada clase sin límites cerrados. Todas las superclases de clases ilimitadas cerrados son clases fijas y estacionarias son ilimitados, pero hay clases fijas que no están cerradas y hay clases fijas que no tienen ninguna subclase sin límites cerrado (como la clase de todos los ordinales límite con cofinality contable). Desde la intersección de dos clases ilimitadas cerrados está cerrada y sin límites, la intersección de una clase estacionaria y una clase ilimitada cerrada es estacionaria. Pero la intersección de dos clases estacionarias puede estar vacía, por ejemplo la clase de ordinales con ω cofinality con la clase de ordinales con cofinality incontables.

En lugar de formular estas definiciones para las clases (propios) de los ordinales, podemos formularlos para conjuntos de ordinales por debajo de un determinado ordinal $\ Alpha$ : Un subconjunto de un ordinal límite $\ Alpha$ se dice que es ilimitada (o cofinal) bajo $\ Alpha$ proporcionado ninguna ordinal menos de $\ Alpha$ es menor que algún ordinal en el conjunto. De manera más general, podemos llamar a un subconjunto de cualquier ordinal $\ Alpha$ cofinal en $\ Alpha$ proporcionan cada ordinal menos de $\ Alpha$ es inferior o igual a algún ordinal en el conjunto. El subconjunto se dice que está cerrado bajo $\ Alpha$ siempre y cuando se cerró para la topología orden en $\ Alpha$ , Es decir, un límite de ordinales en el conjunto es o bien en el conjunto o igual a $\ Alpha$ sí mismo.

Aritmética de ordinales

Hay tres operaciones habituales en los ordinales: suma, multiplicación y (ordinal) exponenciación. Cada uno puede ser definido en esencialmente dos maneras diferentes: ya sea mediante la construcción de un conjunto bien ordenada explícita que representa la operación o mediante el uso de recursión transfinito. Forma normal Cantor proporciona una forma estandarizada de escribir los ordinales. Los llamados operaciones aritméticas "naturales" retienen conmutatividad a costa de la continuidad.

Ordinales y cardinales

Ordinal inicial de un cardenal

Cada ordinal tiene asociado un cardenal , su cardinalidad, obtenida simplemente olvidar el orden. Cualquier conjunto bien ordenado tener que ordinal como su tipo de orden tiene la misma cardinalidad. El ordinal más pequeño que tiene un cardinal dado como su cardinalidad se llama el ordinal inicial de ese cardenal. Cada ordinal finito (número natural) es inicial, pero la mayoría de los ordinales infinitos no son inicial. La axioma de elección es equivalente a la afirmación de que cada conjunto puede ser bien ordenado, es decir, que cada cardenal tiene un ordinal inicial. En este caso, es tradicional para identificar el número cardinal con su ordinal inicial, y decimos que el ordinal inicial es un cardenal.

El infinito ordinal inicial-α ª está escrito $\ Omega_ \ alpha$ . Su cardinalidad se escribe $\ Aleph_ \ alpha$ . Por ejemplo, la cardinalidad de ₀ ω = ω es $\ Aleph_0$ , Que es también la cardinalidad de ω² o ε ₀ (todos son ordinales contables). Así que (asumiendo que el axioma de elección) nos identificamos con ω $\ Aleph_0$ , Excepto que la notación $\ Aleph_0$ se utiliza al escribir cardenales, y ω la hora de escribir los ordinales (esto es importante, ya que $\ Aleph_0 ^ 2 = \ aleph_0$ mientras $\ Omega ^ 2> \ omega$ ). También, $\ Omega_1$ es el ordinal incontable más pequeña (para ver que existe, considerar el conjunto de clases de equivalencia de pocillos ordenamientos de los números naturales: cada una de esas buen orden define un ordinal contable, y $\ Omega_1$ es el tipo de orden de ese conjunto), $\ Omega_2$ es el ordinal más pequeño cuya cardinalidad es mayor que $\ Aleph_1$ , Y así sucesivamente, y $\ Omega_ \ omega$ es el límite de la $\ Omega_n$ para los números naturales n (ningún límite de cardenales es un cardenal, por lo que este límite es de hecho el primer cardenal después de todo el $\ Omega_n$ ).

Ver también Von Neumann asignación cardenal.

Cofinality

La cofinality de un ordinal $\ Alpha$ es el ordinal más pequeño $\ Delta$ que es el tipo de orden de una subconjunto de cofinal $\ Alpha$ . Tenga en cuenta que una serie de autores definen confinality o usarlo sólo para los ordinales límite. El cofinality de un conjunto de ordinales o cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinality del tipo de orden de ese conjunto.

Así, para un ordinal límite, existe una $\ Delta$ actualizadas con arreglo estrictamente creciente secuencia con límite $\ Alpha$ . Por ejemplo, el cofinality de ω² es ω, porque la secuencia ω · m (donde m varía sobre los números naturales) tiende a ω²; pero, en general, cualquier ordinal límite contable tiene ω cofinality. Un ordinal límite incontable puede tener cualquiera cofinality ω como lo hace $\ Omega_ \ omega$ o un cofinality incontable.

El cofinality de 0 es 0. Y el cofinality de cualquier ordinal sucesor es 1. El cofinality de cualquier ordinal límite es, al menos, $\ Omega$ .

Un ordinal que es igual a su cofinality se llama regular y siempre es un ordinal inicial. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y por lo tanto también es inicial, incluso si no es regular, que por lo general no lo es. Si el axioma de elección, a continuación, $\ Omega _ {\ alpha + 1}$ es regular para cada α. En este caso, los ordinales 0, 1, $\ Omega$ , $\ Omega_1$ Y $\ Omega_2$ son regulares, mientras que 2, 3, $\ Omega_ \ omega$ Y _ω ω _{· 2} son ordinales iniciales que no son regulares.

El cofinality de cualquier α ordinal es un ordinal regular, es decir, el cofinality de la cofinality de α es el mismo que el cofinality de α. Así que la operación es cofinality idempotente.

Algunas "grandes" ordinales contables

Ya hemos mencionado (ver Cantor forma normal) el ordinal ε _0, que es el más pequeño que satisface la ecuación $\ Omega ^ \ alpha = \ alpha$ , Por lo que es el límite de la secuencia 0, 1, $\ Omega$ , $\ Omega ^ \ omega$ , $\ Omega ^ {\ omega ^ \ omega}$ , Etc. Muchos ordinales se pueden definir de una manera como puntos fijos de ciertas funciones ordinales (la $\ Ápice$ ordinal-ésimo de tal manera que $\ Omega ^ \ alpha = \ alpha$ se llama $\ Varepsilon_ \ ápice$ , Entonces podríamos seguir tratando de encontrar el $\ Ápice$ ordinal-ésimo de tal manera que $\ Varepsilon_ \ alpha = \ alpha$ ", Y así sucesivamente", pero toda la sutileza se encuentra en el "etc."). Podemos tratar de hacer esto de forma sistemática, pero no importa qué sistema se utiliza para definir y construir ordinales, siempre hay un ordinal que se encuentra justo por encima de todos los ordinales construidas por el sistema. Quizás el ordinal más importante que limita de esta manera un sistema de construcción es el Iglesia- Ordinal Kleene, $\ Omega_1 ^ {\ mathrm {CK}}$ (A pesar de $\ Omega_1$ en el nombre, este ordinal es contable), que es el ordinal más pequeño que no puede de ninguna manera ser representado por una función computable (esto se puede hacer riguroso, por supuesto). Considerablemente grandes ordinales pueden ser definidas a continuación $\ Omega_1 ^ {\ mathrm {CK}}$ , Sin embargo, que miden la "resistencia de prueba de teoría" de cierta sistemas formales (por ejemplo, $\ Varepsilon_0$ mide la fuerza de Aritmética de Peano). Grandes ordinales se pueden definir también por encima de la ordinal Iglesia-Kleene, que son de interés en diversas partes de la lógica.

Topología y ordinales

Cualquier ordinal se puede hacer en una espacio topológico de forma natural dotándola de la topología orden. Vea el Sección Topología y ordinales del artículo "topología Orden".

La baja conjuntos cerrados de los ordinales

Un conjunto es la baja cerrado en todo caso menos de un elemento del conjunto es también en el conjunto. Si un conjunto de ordinales se cierra a la baja, entonces ese conjunto es un ordinal-el menos no ordinal en el conjunto.

Ejemplos:

El conjunto de ordinales de menos de 3 es 3 = {0, 1, 2}, el ordinal más pequeño no menor que 3.
El conjunto de ordinales finitos es infinito, el ordinal infinito más pequeño: ω.
El conjunto de ordinales numerables es numerable, el ordinal incontable más pequeño: ω _1.

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