Octaèdre
Saviez-vous ...
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| Octaèdre régulier | |
|---|---|
 (Cliquez ici pour le modèle de rotation) | |
| Type | Solide de Platon |
| Éléments | F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2) |
| Faces de côtés | 8 {3} |
| Symbole Schläfli | {3,4} |
| Symbole de Wythoff | 4 | 2 3 |
| Coxeter-Dynkin |     |
| Symétrie | O h, 3 BC, [4,3], (432 *) |
| groupe de rotation | O, [4,3] +, (432) |
| Références | U 05, C 17, W 2 |
| Propriétés | Régulier convexe deltaèdre |
| Dièdre | 109,47122 ° = arccos (-1/3) |
 3.3.3.3 ( Vertex figure) |  Cube ( polyèdre dual) |
 Net | |
Un octaèdre (pluriel: octaèdres) est un polyèdre avec huit visages. Un octaèdre régulier est un solide platonicien composé de huit quatre triangles équilatéraux, qui répondent à chacun vertex.
De l'octaèdre groupe de symétrie est O h, de l'ordre de 48. Ce groupe sous-groupes comprennent D 3D (pour 12), le groupe de symétrie d'une triangulaire antiprisme; D 4h (pour 16), le groupe de symétrie d'un carré bipyramide; et T d (pour 24), le groupe de symétrie d'un redressée tétraèdre . Ces symétries peuvent être mis en valeur par des décorations différentes des faces.
Ce est une tridimensionnel polytope croix.
Les coordonnées cartésiennes
Un octaèdre peut être placé avec son centre à l'origine et de ses sommets sur les axes de coordonnées; les coordonnées cartésiennes des sommets sont alors
- (± 1, 0, 0);
- (0, ± 1, 0);
- (0, 0, ± 1).
Superficie et volume
La zone A et le volume de V d'un octaèdre régulier de longueur un bord sont:
Ainsi, le volume est quatre fois celle d'un régulier tétraèdre avec la même longueur de côté, tandis que la surface spécifique est de deux fois (parce que nous avons 8 vs 4 triangles).
Relations géométriques
L'intérieur de la composé de deux double tétraèdres est un octaèdre, et ce composé, appelé stella octangula, est son premier et seul constellation. De manière correspondante, un octaèdre régulier est le résultat d'une coupure de tétraèdre régulier, quatre tétraèdres réguliers de la moitié de la taille linéaire (c.-à- redresser le tétraèdre). Les sommets de l'octaèdre se situent au niveau des milieux des arêtes du tétraèdre, et en ce sens, il se rapporte au tétraèdre de la même manière que le cuboctaèdre et icosidodécaèdre concernent les autres solides de Platon. On peut également répartir les bords d'un octaèdre dans le rapport de la moyen d'or pour définir les sommets d'un icosaèdre. Cela se fait par les premiers vecteurs de situer le long des bords de l'octaèdre de telle sorte que chaque face est délimitée par un cycle, puis le partitionnement similaire chaque bord dans le moyen d'or le long de la direction de son vecteur. Il ya cinq octaèdres qui définissent les icosaèdre donnée dans ce mode, et ensemble, ils définissent un composé régulière.
Octaèdres et tétraèdres peuvent être alternés pour former un sommet, une arête, et le visage uniforme tessellation de l'espace, appelé le octet par treillis Buckminster Fuller. Ce est le seul carrelage sauver la tessellation régulière de cubes , et est l'un des 28 alvéoles uniformes convexes. Un autre est un tessellation et d'octaèdres cuboctaèdres.
L'octaèdre est unique parmi les solides de Platon en ayant un nombre pair de visages réunis à chaque sommet. Par conséquent, il est le seul membre de ce groupe de posséder plans de miroir qui ne passent pas à travers l'une des faces.
Utilisation de la nomenclature normalisée pour Solides de Johnson, un octaèdre seraient appelés une bipyramide carrée.
Polyèdres connexes
L'octaèdre peut également être considéré comme un tétraèdre redressée. Ceci peut être illustré par un modèle de visage en 2 couleurs. Grâce à ce colorant, l'octaèdre a symétrie tétraédrique.
Comparez cette séquence de troncature entre un tétraèdre et son double:
 Tétraèdre |  Tétraèdre tronqué |  octaèdre |  Tétraèdre tronqué |  Tétraèdre |
Octaèdres dans le monde physique
- Surtout dans jeux de rôle, ce solide est connu comme un d8 , l'un des plus courants dés polyédriques .
- Si chaque bord d'un octaèdre est remplacé par un ohm résistance, la résistance entre les sommets opposés est 2.1 ohms et que les sommets adjacents entre 12.5 ohms.
- Cristaux naturels de diamant , alun ou fluorite sont couramment octaédrique.
Octaèdres dans la musique
Si vous placez des notes sur chaque sommet d'un octaèdre, vous pouvez obtenir un six Note échelle intonation juste avec des propriétés remarquables - Il est très symétrique et dispose de huit triades consonnes et douze diads consonnes. Voir hexany
Autres octaèdres
L'octaèdre régulier a six sommets et 12 arêtes, le minimum pour un octaèdre; octaèdres non régulier peut avoir jusqu'à 12 sommets et 18 arêtes.
- Prisme hexagonal: 6 places, deux hexagones
- Heptagonale pyramide: 7 triangles, une heptagone
- Quadrilatère bipyramide: huit triangles, généralement isocèles )
- L'octaèdre régulier est un cas particulier avec triangles équilatéraux
- Tétraèdre tronqué: 4 triangles, 4 hexagones
- Trapézoèdre quadratique - huit cerfs-volants
