Skończenie generowana grupa przemienna
Z Wikipedii
Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.
Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech (G, + ) będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów , że każdy może być zapisany jako
- ,
gdzie są całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór jest zbiorem generującym (generatorów) G lub że generują G.
[edytuj] Przykłady
- Liczby całkowite są skończenie generowaną grupą abelową,
- liczby całkowite modulo n są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
- dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną
Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.
- Grupa liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech będą liczbami wymiernymi, a w liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb , wtedy przedstawienie elementu za pomocą okazuje się niemożliwe.
[edytuj] Klasyfikacja
Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych) może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.).
[edytuj] Rozkład na czynniki pierwsze
Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa G jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci
- ,
gdzie , a liczby są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności G jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy n = 0. Wartości są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez G.
[edytuj] Rozkład na czynniki niezmiennicze
Dowolna skończenie generowana grupa przemienna G może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci
- ,
gdzie k1 dzieli k2, które dzieli k3 i tak dalej, aż do ku. Znowu, liczby są jednoznacznie wyznaczone przez G (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi.
[edytuj] Równoważność
Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że jest izomorficzna z iloczynem prostym przez wtedy i tylko wtedy, gdy j oraz k są względnie pierwsze i m = jk.
[edytuj] Wnioski
Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną G. Ranga G jest określona jako ranga beztorsyjnej części G; tzn. jest to liczba n w powyższych wzorach.
Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.
Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre'a kategorii grup abelowych.
[edytuj] Nieskończenie generowane grupy przemienne
Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy .
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- twierdzenie Jordana-Höldera jako uogólnienie na grupy nieprzemienne.