Sprzężenie hermitowskie

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
macierz dodatnio określona

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Sprzężenie hermitowskie – w ujęciu analizy funkcjonalnej konstrukcja matematyczna w teorii przestrzeni Hilberta w wyniku której otrzymuje się operator dualny (sprzężony) do danego.

Spis treści

1 Definicja ogólna
- 1.1 Macierze
  - 1.1.1 Przykład
2 Operatory samosprzężone
- 2.1 Własności
- 2.2 Zastosowania
3 *-algebry
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja ogólna

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $\langle x,y \rangle$ , zaś $T$ operatorem liniowym ograniczonym na $H$ . Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że dla każdego $y\in H$ istnieje dokładnie jeden element $z \in H$ taki, że równość

$\langle Tx,y \rangle = \langle x,z \rangle$

zachodzi dla wszystkich $x\in H.$

Ponadto odwzorowanie $y \mapsto z$ jest operatorem liniowym ograniczonym na $H$ . Operator ten nazywamy operatorem sprzężonym (dualnym) do $T$ i oznaczamy symbolem $T^\star$ . Innymi słowy, istnieje dokładnie jeden operator $T^\star: H \to H,$ dla którego zachodzi

$\forall_{x,y \in H}\;\langle Tx,y \rangle = \langle x,T^\star y \rangle$ .

Powyższą konstrukcję nazywa się operacją sprzężenia hermitowskiego. W żargonie jednak sprzężeniem hermitowskim nazywa się też sam operator $T^\star$ (wynik konstrukcji). Tak więc operator $T^\star$ jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.

Istnieją dwie główne konwencje oznaczeń operatora sprzężonego. Matematycy używają symbolu gwiazdki $T^\star$ , natomiast fizycy zwykle używają krzyżyka, tzn. $T^\dagger$ .

[edytuj] Macierze

Sprzężenie hermitowskie macierzy – określone dla macierzy zespolonych złożenie operacji transpozycji i trywialnego sprzężenia zespolonego.

Sprzężeniem hermitowskim macierzy formalnie nazywamy więc odwzorowanie

$\cdot^\star: M_n(\mathbb C) \to M_n(\mathbb C)$

takie, że dla $A \in M_{n}(\mathbb C)$ zachodzi

$A=(a_{ij}) \mapsto A^\star = (\overline {a_{ji}})$ ,

czyli

$A^\star = \overline A^T = \overline {A^T}$ .

[edytuj] Przykład

$A=\begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto A^\star = \begin{bmatrix} 2-3i & 0 & i \\ 1+2i & -2 & 2+i \\ -1-2i & 3-2i & 2-i \end{bmatrix}$

[edytuj] Operatory samosprzężone

Operator hermitowski, samosprzężony – operator liniowy określony na skończeniewymiarowej przestrzeni Hilberta równy swemu operatorowi sprzężonemu, tzn. taki, że

$T=T^\star$

W szczególnym przypadku macierzy, macierz hermitowska (samosprzężona) $A$ to taka, która jest równa transpozycji swojego sprzężenia:

$A = A^\star = {\overline A^T}$ , czyli $a_{ij} = \overline {a_{ji}}$ .

[edytuj] Własności

Operatory (macierze) hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne:

Załóżmy, że

λ

jest wartością własną operatora

T

, czyli

$\exists_{x \ne 0}\; Tx=\lambda x$ .

Mamy wówczas

$\lambda \langle x,x \rangle= \langle \lambda x,x \rangle = \langle Tx,x \rangle = \langle x,Tx\rangle = \langle x, \lambda x \rangle = {\overline \lambda} \langle x, x \rangle$ .

Stąd też $\lambda = \overline \lambda$ .

[edytuj] Zastosowania

W mechanice kwantowej operatory hermitowskie są używane do reprezentacji wielkości fizycznych i nazywane obserwablami ("wielkościami, które można obserwować"). Na przykład pęd i energia w mechanice kwantowej przestają być odpowiednio wektorem i skalarem jak w teorii klasycznej, a stają się bardziej abstrakcyjnymi operatorami w pewnej przestrzeni Hilberta.

[edytuj] *-algebry

Element $x$ należący do *-algebry jest samosprzężony, gdy $x * = x$ .

Zbiór $C$ elementów *-algebry jest samosprzężony, jeśli jest zamknięty ze względu na operację inwolucji. Przykładowo, jeśli $x * = y$ wtedy ponieważ $y^*={x^*}^*=x$ należy do *-algebry, to zbiór ${x, y}$ jest samosprzężony nawet, gdy elementy $x, y$ nie są samosprzężone.

[edytuj] Zobacz też

We provide Linux to the World

Sprzężenie hermitowskie

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja ogólna

[edytuj] Macierze

[edytuj] Przykład

[edytuj] Operatory samosprzężone

[edytuj] Własności

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] *-algebry

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach