Antyhomomorfizm
Z Wikipedii
Spis treści |
Antyhomomorfizm – funkcja określona na zbiorach z określonym na nich działaniem mnożenia odwracająca jego porządek; homomorfizm odwracający porządek mnożenia.
Antyautomorfizm – antyhomomorfizm będący zarazem przekształceniem wzajemnie jednoznacznym obiektu na siebie.
[edytuj] Grupy
Niech G,H będą grupami. Mówimy, że przekształcenie 
jest antyhomomorfizmem grup, jeśli
.
[edytuj] Pierścienie
Niech P,R będą pierścieniami. Mówimy, że przekształcenie 
jest antyhomomorfizmem pierścieni, jeśli
,
dla każdego 
.
Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, to każdy antyhomomorfizm jest homomorfizmem pierścieni.
Dla algebr nad ciałem przekształcenie 
musi być liniowe nad daną przestrzenią liniową.
[edytuj] Uwagi
- Warto zauważyć, że jeśli mnożenie w obrazie jest przemienne, to antyhomomorfizm jest tym samym co homomorfizm, zaś antyautomorfizm staje się wtedy zwykłym automorfizmem.
- Antyhomomorfizm można zdefiniować również jako homomorfizm z X do obiektu odwróconego Yop (który poza porządkiem mnożenia jest identyczny z X).
- Oczywiście złożenie dwóch antyhomomorfizmów jest zawsze homomorfizmem, gdyż dwukrotne odwrócenie porządku zachowuje go. Podobnie złożenie antyhomomorfizmu z automorfizmem daje inny antyautomorfizm.
- Częstokroć antyautomorfizmy są inwolucjami, tj. złożenie takich antyautomorfizmów ze sobą jest identycznością.
[edytuj] Przykłady
- Przekształcenie elementu x w jego element odwrotny x − 1 jest antyautomorfizmem dowolnej grupy.
- Operacja transponowania macierzy jest przykładem antyautomorfizmu pierścieni.
- Przekształcenie transpozycji (lub sprzężona transpozycja) jest antyautomorfizmem algebry macierzy kwadratowych.
- Sprzężenie hermitowskie jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.
- Ogólnie, *-inwolucja dowolnej *-algebry jest antyautomorfizmem.
- Sprzężona inwolucja w dowolnej algebrze Cayleya-Dicksona, np. kwaternionach i oktawach Cayleya.
